二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用由定义知，求函数f(x)的不定积分，就是求f(x)的全体原函数.在f(x)dx中，积分号「表示对函数f(x)施行求原函数的运算，故求不定积分的运算实质上就是求导（求微分）运算的逆运算6
6 第三章 一元函数积分学及其应用 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函数.在 f x x ( )d 中, 积分号 表示对函数 f (x) 施行求原函数的运算, 故求 不定积分的运算实质上就是求导(求微分)运算的逆运算. 二、不定积分
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用按照定义，一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间，为了简便起见，如无特别的说明，今后就不再注明例1-(J f(x)dx)与[f(x)dx是否相等?设f(x）和f(x）均连续，问解不相等设F'(x)= f(x),则= =(F(x)+C) = F(x)+0 =f(x).[ f(x)dx)dx-(J f(x)dx) +J F(x)dx而由不定积分定义[f(x)dx=f(x)+C，知70
7 第三章 一元函数积分学及其应用 例1 设 f (x) 和 f x'( ) 均连续, 问: ( ) d ( )d d f x x x 与 f x x ( )d 是否相等? 解 不相等. 设 F(x) = f (x),则 ( ) d ( )d d f x x x d ( ( ) ) d F x C x = + = F(x) + 0 = f (x). 而由不定积分定义 f x x ( )d = f (x) + C , 知 ( ) d ( )d d f x x x f x x ( )d . 二、不定积分 按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用例2xadx(α±-1,x>0)解因为(xα+l)=(α+1)xa所以α+即xα+是x的一个原函数．故α+1X+xadx+α+18
8 第三章 一元函数积分学及其应用 解 因为 1 ( ) ( 1) x x + = + , 二、不定积分 1 1 d 1 x x x C + = + + . 例2 x x x d ( 1, 0) − . 所以 1 1 ' 1 x x + = + , 即 1 1 1 x + + 是 x 的一个原函数. 故
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用求=dx (J x-'dx).例3当x>0时，(lnx)=解X当x<0时,即-x>0时,[ln(-x)}"=.(-1)故 lnx为一在(0,+o)上的一个原函数，ln(-x)为一在(-0,0)上的一个原函x数故当x≠0时，lnlx为一的一个原函数，从而J,dx = In|x+C (x 0).9
9 第三章 一元函数积分学及其应用 例3 求 1 dx x ( 1 x xd − ). 解 当 x 0时, 1 (ln ) x x = ; 当 x 0 时, 即− x 0时, 1 1 [ln( )] ( 1) x x x − = − = − . 故 ln x 为 1 x 在 (0, ) + 上的一个原函数, ln( ) −x 为 1 x 在 ( ,0) − 上的一个原函 数. 故当 x 0时, ln x 为 1 x 的一个原函数, 从而 1 d ln ( 0) x x C x x = + . 二、不定积分
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用例4[a"dx (a#1,a>0)解因(a')=a"Ina,α是α的一个原函数，从而故ngana[a'dx+CIna10
10 第三章 一元函数积分学及其应用 解 因( ) ln x x a a a = , 1 ' ln x x a a a = , 二、不定积分 例4 d ( 1, 0) x a x a a 1 d ln x x a x a C a = + . 故 1 ln x a a 是 x a 的一个原函数, 从而