3.邻域第一章函数、连续与极限设a与S为两个实数，且>0,数集{xx-α<称为点α的邻域，记作U(a,），即U(a,)=(xx-al<)，其中a 称作U(a,)的中心, 称作U(a,8)的半径在数轴上，x-αl表示点x与点α的距离，因此点α的邻域U(a,)={xx-α<8)在数轴上就表示与点a距离小于S的点x的全体.由于x-a<等价于-s<x-α<s,即a-<x<a+8,所以88U(a,8)=[x|a-8<x<a+8)a+s xaa-s因此，U(a,)也就是开区间(α-S,α+8)图1-15见图1-15，显然，这个开区间以点α为中心，而长度为2811R
11 3. 邻域 第一章 函数、连续与极限 图1-15 设 a 与 为两个实数， 且 ，数集 称为点 的 邻域， 记作 ，即 ( ) ，其中 称作 的中心， 称作 的半径. U a x x a , = − 0 x x a − a a U a( , ) U a( , ) U a( , ) U a x a x a ( , ) = − + 因此， U a( , ) 也就是开区间 (a a − + , ) . 见图1-15，显然，这个开区间以点a 为中心，而长度为 2. a a a + x 在数轴上， x a − 表示点 x 与点 a 的距离，因此点 的 邻域 在数轴上就表示与点 距离小于 的点 的全体. a U a x x a ( , ) = − a x 由于 x a − 等价于 − − x a ， 即 a x a − + ，所以
3.邻域第一章函数、连续与极限有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点α的s邻域去掉中心α后称为点α的去心邻域，记作ü(a,)，即8s0(a,8)=(x0<x-al<)aa-sa+sx这里0<x一a就表示x±a：图1-16称为为了方便，有时将开区间（a-,a）称为α的左邻域，而将开区间 (a,a+)α的右邻域.如果不强调半径，以点α为中心的任何开区间称为点α的邻域，记作U(a) .12
12 3. 邻域 第一章 函数、连续与极限 有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点 的 邻域去掉中心 后， 称为点 的去心 邻域，记作 ，即 a a a ( , ) o U a ( , 0 ) o U a x x a = − 这里 0 −x a 就表示 x a . 为了方便，有时将开区间 称为 的左邻域，而将开区间 称为 的右邻域.如果不强调半径，以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记 作 . (a a − , ) a a (a a, + ) U a( ) a a a- a a + x 图1-16
二、常用函数第一章函数、连续与极限1. 基本初等函数（反、对、幂、三、指）=x2(1）幕函数：y=x~（α是常数）当αZ时,=x~的定义域是R;1当αZ-时,=x~的定义域是RI(0)（见图1-17）；01x11时,y=x当α=的定义域是[0,+8）-2Ex当α=-时，y=x的定义域是（0,+），2Vx幂函数的最小定义域是（0,+)图1-1713
13 二、常用函数 第一章 函数、连续与极限 y x (α 是常数) = y=x y y=x2 1 x 1 o y=x3 (1,1) 图1-17 1. 基本初等函数（反、对、幂、三、指） 当 时， 的定义域是 ； 1 2 = 1 2 y x x = = [0, ) + (１) 幂函数: Z + y x 当 时， = 的定义域是 R ； Z − y x 当 时， = 的定义域是 R\{0} （见图1-17）； 1 2 = − 1 2 1 y x x − = = (0, ) + (0, ) + 当 时， 的定义域是 , 幂函数的最小定义域是
1.基本初等函数第一章函数、连续与极限(3)对数函数： y=logx(a>0,a±1)对数函数y=logx(a>0,α1)的定义域是(O,+o),其图像位于y轴的右方且通过点(1,0).当a>1时，y=log。x是单调增加函数(见图1-20）；当0<a<1时，y=log。x是单调减少函数(见图1-21).当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数1y=log.x (a>1)y=log,x (0<a<1)01图1-20图1-2114L
14 第一章 函数、连续与极限 (３) 对数函数: 1. 基本初等函数 log ( 0, 1) a y x a a = y O 1 x y x 1 O log (a>1) a y x = log (0<a<1) a y x = 图1-20 图1-21 loga 0 1 a y x = a = e y x = ln 当 时， 是单调减少函数(见图1-21). 当 时的对数函数 记为 ，称为自然对数函数. log ( 0, 1) a y x a a = (0, ) + y loga (1,0) a 1 y x = 对数函数 的定义域是 ,其图像位于 轴的右方且通过 点 . 当 时， 是单调增加函数(见图1-20)；
1.基本初等函数第一章函数、连续与极限对数具有以下运算性质：对任意的x,yER+,a>O,a≠l，beR，(i) log,x+logay=logaxy(i) logax-logay=loga1(ii) logaxb = bloga xy=log。×和y=α"互为反函数，它们的图像关于直线=x对称，且有aloga=x，进一步，我们在以后的计算中经常会用到 elnx=x 和 ealnx=elnx°=xa15
15 1. 基本初等函数 第一章 函数、连续与极限 对数具有以下运算性质：对任意的 x y R a a , , 0, 1 ， , + bR （i） （ii） （iii） log log log a a a x y xy + = log log log a a a x x y y − = log log b a a x b x = 和 互为反函数，它们的图像关于直线 对称，且有 ， 进一步，我们在以后的计算中经常会用到 和 . loga y x = x y a = y x = loga x a x = ln e x = x ln ln e e a a x x a = = x