S3函数极限存在的条件在这一节中，我们仍以 lim f(x)为代x-→xo表，介绍函数极限存在的条件。对于其他类型的极限，也有类似的结论一、归结原则二、单调有界定理三、柯西收敛准则前页返回后页
前页 后页 返回 在这一节中, 我们仍以 为代 0 lim ( ) x x f x → 一、归结原则 §3 函数极限存在的条件 三、柯西收敛准则 二、单调有界定理 他类型的极限,也有类似的结论. 表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其 返回
一、归结原则定理 3.8 设f 在U(xo,n) 有定义. lim f(x) 存在X0的充要条件是：对于在U（xo,n）内以x为极限的任何数列(xn)，极限 lim f(x,）都存在，并且相等证 (必要性）设 lim f(x)=A,则对任给 ε>0,存x→xo在8>0,当0</x-x/<8时,有I f(x)-A/<8.设(xn)U(xo,n),xn→xo，那么对上述S,存在前页后页返回
前页 后页 返回 一、归结原则 的充要条件是: 对于在 U (x0 ,) 内 以 x0 为极限的 { }, 任何数列 xn lim ( ) n n f x → 极限 都存在, 并且相等. 证 (必要性) 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 则对任给 0, 存 在 0, 当0 | x − x0 | 时, 有 定理 3.8 ( , ) . 设 f 在 U x0 有定义 lim ( ) 存在 0 f x x→x | f (x) − A| . 设{xn } ( , ), , U x0 xn → x0 那么对上述 , 存在
N,当n>N时,有0</xn-xo/<8,所以lf(x,)-Al<ε.这就证明了 lim f(x,)=A(充分性）（下面的证法很有典型性，大家必须学会这种方法.）设任给(xcU(xo,n)xn→xo恒有lim f(xn)= A .n00若 f(x)在x→xo时,不以 A为极限，则存在正数前页后页返回
前页 后页 返回 N,当 n N 时, 有 0 | | , xn − x0 所以 | f (x ) − A| . n 这就证明了 lim f (x ) A. n n = → (充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学 恒有 lim f (x ) A . n n = → 0 若 f (x) 在 x → x 时, 不以 A 为极限, 则存在正数 设任给 { } ( , ), xn U x0 , 会这种方法.） xn → x0
80,对于任意正数8,存在xU(x,8),使得I f(x)-A/≥80现分别取0i-, ., -.,0,-",n存在相应的Xi, X2,..", Xn, .., xneU(x,on),使得I f(xn)-A/ ≥ 80, n =1, 2, ... 后页返回前页
前页 后页 返回 | ( ) | . 0 f x − A 现分别取 , , , , 2 , 1 2 n n = = = 存在相应的 , , , , , ( , ), x1 x2 xn xn U x n 使得 | ( ) | , 1, 2, . f xn − A 0 n = 对于任意正数 , ( , ), x U x0 0 , 存在 使得
另一方面,0<[xn-xol<8,=n，所以limx,=xo.这与limf(x)=A矛盾n-0注归结原则有一个重要应用：若存在(x,l,lyh) cU(x,), x,→xo, yn→Xo,但是lim f(x,)= A B = lim f(y,),n8on→00则lim f(x)不存在x-X0后页返回前页
前页 后页 返回 另一方面, 0 | | , 0 n xn x n − = 所以 lim . xn x0 n = → 这与 f xn A n = → lim ( ) 矛盾. 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 { },{ } ( ), , , 0 0 x0 x y U x x x y n n n → n → 但是 lim ( ) lim ( ), n n n n f x A B f y → → = = lim ( ) 0 f x x→x 则 不存在