导航 课堂·重难突破 探究一用数学归纳法证明等式 【例1】用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有 1×4+2X7+3X10+…+n(3n+1)=n(n+1)2, 证明：1)当=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左边=右边，所 以此时等式成立 (2)假设当=k(k≥1)时，等式成立，即 1×4+2X7+3X10++k(3k+1)=k(k+1)2
导航 课堂·重难突破 探究一用数学归纳法证明等式 【例1】用数学归纳法证明,对任意的正整数n,都有 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 . 证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×2 2=4,左边=右边,所 以此时等式成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
导航 则1×4+2×7+3×10++k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1] =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 所以，此时n=k+1也成立 根据(1)和(2)可知，等式对任何正整数都成立
导航 则1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1] =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2 , 所以,此时n=k+1也成立. 根据(1)和(2)可知,等式对任何正整数都成立
导航 反思感悟 数学归纳法证题中，利用假设是核心. 在第二步证明=k+1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把 归纳假设“当=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题 也成立
导航 数学归纳法证题中,利用假设是核心. 在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把 归纳假设“当n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1时命题 也成立”
【变式训练1】 用数学归纳法证明：(1-)(1)(1-)… (1=EN) 证明：(0当=1时，左边=1号=系右边 2=此时等式成立 (2)假设n=k(k≥1)时，等式成立，即 (1-动(1-(1-1-2)=z
导航 【变式训练 1】 用数学归纳法证明: 𝟏- 𝟏 𝟑 𝟏- 𝟏 𝟒 𝟏- 𝟏 𝟓 … 𝟏- 𝟏 𝒏+𝟐 = 𝟐 𝒏+𝟐 (n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1- 𝟏 𝟑 = 𝟐 𝟑 ,右边= 𝟐 𝟏+𝟐 = 𝟐 𝟑 ,此时等式成立. (2)假设 n=k(k≥1)时,等式成立,即 𝟏- 𝟏 𝟑 𝟏- 𝟏 𝟒 𝟏- 𝟏 𝟓 ·…· 𝟏- 𝟏 𝒌+𝟐 = 𝟐 𝒌+𝟐
导航 则1131唱…12r1+南异z(14南)= 2(k+2) 2 (k+2)(k+3)=k+3) 此时当n=k+1时等式成立. 由(I)2)可知，对于n∈N等式都成立
导航 则(1- 𝟏 𝟑 )(1- 𝟏 𝟒 )(1- 𝟏 𝟓 )·…·(1- 𝟏 𝒌+𝟐 )·(1- 𝟏 𝒌+𝟑 )= 𝟐 𝒌+𝟐 𝟏- 𝟏 𝒌+𝟑 = 𝟐(𝒌+𝟐) (𝒌+𝟐)(𝒌+𝟑) = 𝟐 𝒌+𝟑 , 此时当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可知,对于n∈N+等式都成立