导航 探究二用数学归纳法证明不等式 【例2】已知S。=1+号+子++片>1，n∈N+b求 证：S2m>1+n≥2，n∈N+h 证明：山当n=2时，52=1号+写+=受1受即当2时不 等式成立
导航 探究二用数学归纳法证明不等式 【例 2 】 已知 Sn =1+ 𝟏𝟐 + 𝟏𝟑 + … + 𝟏𝒏(n>1, n ∈ N +), 求 证:𝑺 𝟐 𝒏 >1+𝒏𝟐(n ≥2, n ∈ N +). 证明:(1) 当 n= 2 时,𝑺 𝟐 𝒏 =1+ 𝟏𝟐 + 𝟏𝟑 + 𝟏𝟒 = 𝟐 𝟓 𝟏 𝟐 >1+ 𝟐𝟐,即当 n= 2 时不 等式成立
(2)假设当=kk≥2)时，不等式成立，即 导航 52=1+号+…宝1岭 则吃+…字+…时1岭+ 2k项 t…+霜>1岭+221览+经1 1 2k+1 故当n=k+1时，不等式也成立. 由()2)可知，当n∈N+,n≥2时，不等式S2n>1+都成立
导航 (2)假设当 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 𝑺𝟐 𝒌=1+ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 +…+ 𝟏 𝟐 𝒌 >1+ 𝒌 𝟐 , 则𝑺𝟐 𝒌+𝟏=1+ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 +…+ 𝟏 𝟐 𝒌 + 𝟏 𝟐 𝒌 +𝟏 +…+ 𝟏 𝟐 𝒌+𝟏 >1+ 𝒌 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒌 +𝟏 + 𝟏 𝟐 𝒌 +𝟐 + … + 𝟏 𝟐 𝒌+𝟏 𝟐 𝒌 项 >1+ 𝐤 𝟐 + 𝟐 𝐤 𝟐 𝐤 +𝟐 𝐤 =1+ 𝐤 𝟐 + 𝟏 𝟐 =1+ 𝐤+𝟏 𝟐 , 故当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,当 n∈N+,n≥2 时,不等式𝑺𝟐 𝒏>1+ 𝒏 𝟐 都成立