例1.计算xd,其中L是抛物线y=x2上点00,0) 与点B(1,1)之间的一段弧 解：L:y=x2(0≤x≤1) .Sxds =ox.2x dx B(1,1 -fxv1+4x2dx =[2+a 12(5v5-1)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧. 解: : (0 1) 2 L y = x x = 1 0 x x 1 4x dx 1 0 2 = + 1 0 2 3 2 (1 4 ) 12 1 = + x (5 5 1) 12 1 = − 上点 O (0,0) 1 L x y 2 y = x o B(1,1)
主讲人：苏本堂 例2.计算∫x2d,其中r为球面x2+y2+2=a2 被平面x+y+z=0所截的圆周 解：由对称性可知手子d=fr产ds=手子d frx2ds=if (x2+)2+22)ds -3fru ds-go"2xa πa
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 计算 其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 x ds 2 x s (x y z )ds 3 1 d 2 2 2 2 = + + a ds 3 1 2 = a 2 a 3 1 2 = 3 3 2 = a y ds 2 = z ds 2 =
例3.计算1=(x2+2+2)d,其中T为球面x2+y2 +22=号与平面x+z=1的交线 解r:(x-》2+少2=1化为参数方程 x+z=1 (x=2cos0+2 T:y=2sine (0≤0≤2π) 2=3-V2cos0 则 ds=/(-2sin0)2+(2cos0)2+(v2sin8)2d8=2d8 1-302d6-18x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ds = d 例3. 计算 其中为球面 2 2 x + y 解: , 1 ( ) 1 : 2 4 2 1 2 1 2 1 + = − + = x z x y : ( 0 2 ) 2 (− 2sin ) 2 + ( 2sin ) 2d 18 2 9 2 0 = = I = 2d 2 cos 2 1 z = − 与平面x + z =1的交线. 2 2 9 + z = 化为参数方程 2 1 x = 2 cos + y = 2sin 则
思考：如何利用对称性简化曲线积分的计算 (⑩若L关于x轴对称 (1)当f(x,-y)=-f(xy)时 ∫f,y)k=0 (2)当f(x,-y)=f(x,y)时 ∫fxy)=2jfx,y函 四若L关于y轴对称 (I)当f(-x,y)=-f(x,y)时 Jf(x,y)ds=0 (2)当f(-x,y)=f(x,y)时 ∫，f(x,y)ds=2,f(x,y)ds
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 思考: 如何利用对称性简化曲线积分的计算 L L1 O x y L L1 O y x (I) 若L关于 x 轴对称 (1) ( , ) ( , ) 当 f x y f x y − = − 时 (2) ( , ) ( , ) 当 f x y f x y − = 时 1 ( , ) 2 ( , ) L L f x y ds f x y ds = ( , ) 0 L f x y ds = (II) 若L关于 y 轴对称 (1) ( , ) ( , ) 当 f x y f x y − = − 时 (2) ( , ) ( , ) 当 f x y f x y − = 时 1 ( , ) 2 ( , ) L L f x y ds f x y ds = ( , ) 0 L f x y ds =
练习 2 1.已知椭圆L: 。=1周长为a,求 3 f(2y+3x2+4y2)d -2 2x 提示：利用对称性2xyds=0 原武试=12，cf+灿-l2fds=12a
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 练习 1. 已知椭圆 1 4 3 : 2 2 + = x y L 周长为a , 求 xy x y s L (2 3 4 )d 2 2 + + 提示: 2 d = 0 xy s L 原式 = s x y L )d 4 3 12 ( 2 2 + s L 12 d = =12a − 2 o 2 y x 3 利用对称性