本堂 2.性质 性质1设c1、c2为常数，则 [cf(x.y)+czg(x.y)ds=aJ f(x.yds+c2Jg(x.y)ds; 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L,和L,则 (ds=J.f(.ds+f(x.ds; 性质3设在L上几x,y)g(x,y),则 fex凼≤gx,b. 特别地，有 f(ds川函
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 性质 性质1 设c1、c2为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) 1 2 1 2 + = + 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 = + 性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则 L L f (x, y)ds g(x, y)ds 特别地 有 L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds
二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 计算定积分 定理：设∫(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=y(t)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，f(x,)d存在，且 Jf.y)ds-SPMo().w(lo2O+v2@)dt 证：根据定义 「2/x,d=m2f低，%A 2→0k-1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = + f x y ds f t t t t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0
主计 方本堂 因此 f(x,y)ds =∫/Io0).wt小e2)+w2a)d 说明： (I)·△Sk>0,'.△tk>0,因此积分限必须满足<B! (2)注意到 ds=(dx)2+(dy)2 =vo2()+w2(t)dt ds dy dx 因此上述计算公式相当于“换元法”. X
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 dx dy ds x y o 说明: (1) 0, 0, k k s t 因此积分限必须满足 ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 = + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此
设曲线L的参数方程为x=(),y=()(β)，则 ∫fxys=f几ou,wtp2)+w20d(aK 讨论： (I)若曲线L的方程为=xa≤x≤b),则∫fx,)=？ 2)若曲线L的方程为x=0c≤d,则∫fx,s=? 提示： (1)L的参数方程为x=x,y=x)(a≤x≤b), ∫fx西=x,+26k. (2)L的参数方程为x=00y),=(C≤d), 2 fx.y)ds=-2o0w以o20+id
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 = + () 设曲线 L的参数方程为x=(t) y=(t) (t) 则 讨论 (1)若曲线 L 的方程为 y=(x)(axb) 则 f x y ds L ( , ) =？ (2)若曲线 L 的方程为 x=(y)(cyd) 则 f x y ds L ( , ) =？ 提示 (1)L的参数方程为x=x y=(x)(axb) f x y ds f x x x dx b L a ( , ) = [ , ( )] 1+ ( ) 2 (2)L的参数方程为x=(y) y=y(cyd) f x y ds f y y y dy d L c ( , ) = [ ( ), ] ( )+1 2
山东农 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=y(t)(C≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，f(x,)ds存在，且 J.ds-2(+d 推广：设空间曲线弧的参数方程为 T:x=(t),y=w(t),z=o(t)(0≤t≤B) 则Jnf(x,y2)ds -ffv.o)j202+odr
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = + f x y ds f t t t t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 定理: 上的连续函数, 且 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x =(t), y =(t), z =(t) ( t ) 则 f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2 = + + f ((t) ,(t),(t) )