第三为 第八章 平面及其方程 一、曲面方程和空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 平面及其方程 第八章 一、曲面方程和空间曲线方程的概念
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程， 解：设轨迹上的动点为M(x,y,),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)月 化简得2x-6y+2:-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面， 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1) ( y 2) (z 3) 化简得 2x 6 y 2z 7 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 (x 2) ( y 1) (z 4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM BM , 轨迹方程
定义1.如果曲面S与方程F(x,乃z)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,y:)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,)=0 曲面S叫做方程F(x,%z)=0的图形 空间曲线可视为两曲面的交线， 其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x) =0i ,y,) 显然在此曲线上的点的坐标都 满足此方程组，不在此曲线上的点的坐标不满足此方程组
定义1. F(x, y,z) 0 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 S z y x O 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 G(x, y,z) 0 L F(x, y,z) 0 S1 显然在此曲线上的点的坐标都 满足此方程组, 不在此曲线上的点的坐标不满足此方程组
二、平面的点法式方程 设一平面通过己知点M。(x,yo,o)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程， 任取点M(x,y,)∈Ⅱ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-0,y-yo,2-20) A(x-xo)+B(y-y0)+C(三-2o)=0 1 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面的法向量
O z y x M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x x0 B y y0 C z z0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n (A , B, C), M M n 0 0 M0M n 则有 故 称 n 为平面 的
例1.求过点(2，-3,0)且以=(1，-2,3)为法线向量 的平面Ⅱ的方程 解：由平面的点法式方程，得该平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0
例1.求过点 且以 为法线向量 解: 由平面的点法式方程，得该平面的方程为 的平面 的方程. ( 2) 2( 3) 3 0, x y z 即 x y z 2 3 8 0