例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证:设 f(x)= x5 -5x +1,则 f(x)在[0,1]连续且 f(0) =1, f(1)=-3. E由零点定理3xE(0,1),使 f(x.）=0.即为方程的小于1的正实根设另有 x, E(0,1),x, ± xo,使 f(x,)= 0.：f(x)在xo,x,之间满足罗尔定理的条件:至少存在一个(在xo,x 之间),使得 f()=0.但 f'(x) = 5(x* -1)< 0, (x E (0,1)矛盾，.有唯一实根
例1. 5 5 1 0 1 . 证明方程 x x − + = 有且仅有一个小于 的正实根 证: ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由零点定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. 1 1 0 1 设另有 x x x f x = (0,1), , ( ) 0. 使 ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 0 1 = 至少存在一个 ( , ), ( ) 0. 在 x x f 之间 使得 4 但 f x x x ( ) 5( 1) 0, ( (0,1)) = − 矛盾, 有唯一实根
证明 e-(ax2+bx +c)=0 至多有三个实根例2证 记 f(x)=e*-(ax2+bx+c)直接证明有困难，采用反证法设 f(x)=0 有四个实根 <x<x<x4记 (x)=e*-(ax2+bx+c) 连续、可导对 f(x)在[xi,x2l,[x2,x3],[xg,x]用罗尔定理得< <X2 <2 <X <5 <X4使 f(5)= f'(52)= f'(53)= 0f'(x)=e*-2ax-b连续、可导对 f'(x) 在[51,52],[52,53]用罗尔定理得
例2 证明 ( ) 0 2 e − ax + bx + c = x 至多有三个实根 证 ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + 直接证明有困难，采用反证法 设 f (x) = 0 有四个实根 1 2 3 4 x x x x ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ],[ , ] 1 2 2 3 3 4 在 x x x x x x 用罗尔定理得 1 1 2 2 3 3 4 x x x x ( ) ( ) ( ) 0 使 f 1 = f 2 = f 3 = f x e ax b x ( ) = − 2 − 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ] 在 1 2 2 3 用罗尔定理得
<<5 <N <53使 f"(n)= f"(nz)= 0f"(αx)=e*-2a 连续、可导对 f"(x) 在[n,nz] 用罗尔定理得3[n1,n2]c[xi,x] 使 f"()=0但 f"(x)=e*>0矛盾得证结论成立
1 1 2 2 3 ( ) ( ) 0 使 f 1 = f 2 = f x e a x ( ) = − 2 连续、可导 对 f (x) [ , ] 在 1 2 用罗尔定理得 [ , ] [ , ] 1 2 1 4 x x 使 f ( ) 0 = ( ) = 0 x 但 f x e 矛盾 得证结论成立
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理约瑟夫·路易斯拉格朗日Joseph-LouisLagrange1735~1813法国数学家、物理学家
约瑟夫·路易斯· 拉格朗日 Joseph-Louis Lagrange 1735~1813 法国数学家、物理学家 三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗 日1736年1月25日生于意大利都灵,他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出，18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两个函数积的高阶微商，然后他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉,1756年20岁时受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士，1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，1813年4月3日，拿破仑授子他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨,，拉格朗日卒于巴黎
拉格朗日1736年1月25日生于意大利都灵. 他在数 学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献, 其中尤以数学方面的成就最为突出. 18岁时, 拉格朗日用意大利语写了第一篇论文, 是 用牛顿二项式定理处理两个函数乘积的高阶微商, 然 后他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院 任职的数学家欧拉. 1756年20岁时. 受欧拉的举 荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通 讯院士. 1791年, 拉格朗日被选为英国皇 家学会会员. 1813年4月3日, 拿破仑授予 他帝国大十字勋章. 但此时的拉格朗日 已卧床不起. 4月11日早晨, 拉格朗日卒 于巴黎