费马引理设函数f(x)在点x.的某邻域U(x)内有定义，并且在x.处可导，如果对任意xU(x)的，有f(x)≤ f(x.)(或f(x) ≥ f(x)那么f'(x)= 0
0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) . f x x U x x x U x f x f x f x f x f x = 设函数 在点 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如 果对任意 的，有 费 那么 理 或 马引
V几何解释：y= f(x)B函数如果在x.点可导并且在局部范围内是DA最值，则它的切线一x5,0E2ba定是水平的定义 使导数为零的点(即方程 f'(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点
o a 1 2 b x y y = f (x) A B C D 几何解释： 函数如果在x0点可 导并且在局部范围内是 最值，则它的切线一 定是水平的. ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x 定义 f x =
证： 不妨设Vx+△x EU(x),f(x。+△x)≤ f(xo),f(xo +Ax) - f(xo)≤0;若△r>0，则有Axf(x。 +Ax)- f(x)≤0;:. f'(x)= limAx△r->+0f(xo + △x)- f(xo)若△x<0，则有≥0;Axf(xo +Ax)- f(x)≥0;.:. f'(x) = limAxAr→-0又：f(x)存在,. f'(x) =f(x):: 只有 f'(x。)= 0.证毕
证: 0 0 0 0 不妨设 + + x x U x f x x f x ( ), ( ) ( ), 证毕 若 x 0, 0 0 0 ( ) ( ) ; f x x f x x 则有 + − 若 x 0, 0 0 0 ( ) ( ) ; f x x f x x 则有 + − 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ; x f x x f x f x x − →− + − = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ; x f x x f x f x x + →+ + − = 0 又 f x ( ) , 存在 0 0 f x f x ( ) ( ). − + = 0 = 只有 f x ( ) . 0
导数教零点定理定理：设（x）在[a.b]上可导，且f（a)(b）<0，则至少存在一点e（a.b）使（）=0证，不妨设（a)<0,()>0，(x）在[a,6上的最小值为m，m=f（），由f()-(a)20及极限的保号性得，在x-a的某个右邻城内，f'(a)=lim$x-af(x)-f(a)<0(x>a),于是(+)<f(a),X-a(x)-1(6)>0及极限的保号性得，在×=6的菜个左邻城内，同理，由f（0）=limm142x-b()-J(6)>0x<b)，于是(0)<J)，7-6综上得，5+a,b，因此，5e（a,b)，由费马引理得，（)=0注：费马引理：若（x）在处可导，在的某够城内均有了（）≤（）（或（x)2（）），1(元）=0
导级零点定理的几何意义f(a)F(o)<0表示J(x）在区间[a,b]的两个端点处的增减性是相反的，即(a)<0.J(b)>0，或者J(a)>0.J(b)<0;若J()<0.J(6)>0,则在a的右够域内（）<(a），在b的左邻域内子（x）<(6)，此时，于(x）的最小值m必然在（a.b)内的某点处取得，曲线y=（）在处的切线平行于轴，即（）=0，同理，若(a)>0.J(b)<0，则在a的右邻域内f()>/(@)，在b的左邻域内()>/(b)，此时，J（x）的最大值M必然在（a，b）内的某点处取得，曲线y=（x）在处的切线平行于出国留学网×轴，即厂（）=0、反映在图像上即下面的图1和图2WWWLIITUEBE.COM-Oob11图2