(3)面F(x,y,z)=0的切平面与法线 法向量为={F、、m0) 切平面为 x(x0,y0,x0)x-x0)+F,(y-Jo)+F2(z-z)=0 法线为 u-d y=yo z-20 x(x0,y0,z0)f(x0,y0,zo)Fz(x0,y0,0) (4面z=f(x,y)切平面与法线 切平面:fx(x-x0)+∫,(y-y)-(z-0)=0 法线: x- 0 Z-Z ∫x(x0,y)f(x0,y0)-1 K心
(3)曲面F(x, y,z) = 0的切平面与法线 ( , , ) 0 0 0 : { , , } x y z n = Fx Fy Fz 法向量为 Fx (x0 , y0 ,z0 )(x − x0 ) + Fy ( y − y0 ) + Fz (z − z0 ) = 0 切平面为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = − 法线为 (4)曲面z = f (x, y)的切平面与法线 : ( ) ( ) ( ) 0, 切平面 fx x − x0 + f y y − y0 − z − z0 = . ( , ) ( , ) 1 : 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y 法线
2.方向导数与梯度 af (x, y al fxc0sq+∫ SIn g, 其中p为x轴到方向的转角 af(x, y,z af af af cos a+cos B+cos y ax ay az (2)gradf(x,y)=fi.;- df af ax ay ax ay gr(x,1:)=ya+9j+9k=(f,9,可) ax ay az ax ay az af(x, y=l gradf(x,y)I . cos( gra K心
2. 方向导数与梯度 cos sin , ( , ) (1) f x f y l f x y = + 其中 为x轴到方向l的转角. cos cos cos ( , , ) z f y f x f l f x y z + + = (2) ( , ) ( , ) y f x f j y f i x f gradf x y = + = ( , , ) ( , , ) z f y f x f k z f j y f i x f gradf x y z = + + = | ( , )| cos( , ) ( , ) (3) gradf x y gradf e l f x y =
3.极值 (1)无条件极值 极值存在的必要条件 设z=f(x,y)在(x0,y)具有偏导数,且在(x0,%)取得 极值,则/:(x0,y)=0,f(x0,y0)=0 极值存在的充分条件 设z=f(x,y)在U(f,δ内连续,且有一阶及二阶连续 偏导数,又f(x,y)=0,f(x0,y)=0 <A=K(o, yo),B=fx(o, yo), C=fv(o, yo), 则(1)当C-B2>0时,有极值, A<0时有极大值,A>0时有极小值 K心
3. 极值 (1) 无条件极值 极值存在的必要条件 , ( , ) 0, ( , ) 0. ( , ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = f x y f x y z f x y x y x y 极值 则 x y 设 在 具有偏导数 且在 取得 极值存在的充分条件 , ( , ) ( , ) , 0 偏导数 设z = f x y 在U P 内连续 且有一阶及二阶连续 ( , ) 0, ( , ) 0, 又 fx x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ), ( , ), ( , ), 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y 令 = x x = x y = yy (1) 0 , , 则 当AC − B 2 时 有极值 A 0时有极大值, A 0时有极小值;
(2)当C-B2<0时,没有极值; (3)当C-B2=0时,为可能极值需另作讨论 求函数z=∫(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组∫2(x,y)=0,∫,(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步求∫x(x,y),∫x(x,y),fm(x,y 第三步对于每一个驻点(x0,y0), 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第四步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值 K心
(2) 0 , ; 当AC − B 2 时 没有极值 (3) 0 , , . 当AC − B 2 = 时 为可能极值 需另作讨论 求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. f (x, y), f (x, y), f (x, y). 第二步 求 xx xy yy 第三步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值
(2)条件极值 降元法(化为无条件极值) 升元法( Lagrange乘数法) 要找z=f(x,y)在g(x,y)=0条件下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数F(x,y,4)=∫(x,y)+Ag(x,y), 「Fx=f+Aqx=0 解出(xy)即为可能极值点 令{F,=f+Ag,=0 判断是否为极值点通 F2=qp(x,y)=0常由实际问题来定 求u=∫(x,y)在q(x,y)=0,y(x,y)=0下的可能极值点: 构造函数F(x,y,A,p)=f(x,y)+(x,y)+v(x,y) K
(2) 条件极值 降元法（化为无条件极值） 升元法（Lagrange乘数法） 要找 z = f (x, y)在(x, y) = 0条件下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数F(x, y,) = f (x, y) + (x, y), = = = + = = + = ( , ) 0 0 0 F x y F f F f y y y x x x 令 解出(x,y)即为可能极值点. 判断是否为极值点通 常由实际问题来定. 求u = f (x, y)在(x, y) = 0,(x, y) = 0下的可能极值点: 构造函数F(x, y,,) = f (x, y) + (x, y) + (x, y)