二、微分法 1、全导数公式 设z=f(u,v),u=g(x),y=v(x),则 da_i af du, af di au dx ay dx 2、偏导数公式 设z=f(u,v),=p(x,y),v=v(x,y,则 Oz=UY fi xOz Ou.z Ov 十 ax au ax av ax z az au az av K心
二、微分法 1、全导数公式 设z = f (u,v),u = (x),v =(x),则 ( ) dx dv v f dx du u f v u f f dx dz + = = 1 2 2、偏导数公式 设z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y),则 ( ) ( ) y v v z y u u z v u f f y z x v v z x u u z v u f f x z y y x x + = = + = = 1 2 1 2
3、一阶全微分形式不变性 设z=∫(L,ν),u=g(x,y),v=y(x,y),则 af af du+dv av 4、隐函数的微分法 1)设F(x,y)=0,当F,≠0时,=-F; d x 当F≠0时, dx 小y (2)设F(x,y,z)=0,当F2≠0时, az Ox F, ay F
3、一阶全微分形式不变性 设z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y),则 dv v f du u f dz + = 4、隐函数的微分法 0 , . (1) ( , ) 0, 0 , ; x y x y x y F F dy dx F F F dx dy F x y F = − = = − 当 时 设 当 时 , . (2) ( , , ) 0, 0 , z y z x z F F y z F F x z F x y z F = − = − 设 = 当 时
(3)方程组情形 F(x,y,z)=0 确定了两个一元函数 G(x,y,z)=0 2){F(x,.)=0 IG(x, y,u,v)=0 确定了两个二元函数 x=x(u, v) 3){y=y(u,)确定了一个以为中间变量 =z(u、积为自变量的二元函数 K心
(3) 方程组情形 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 1) G x y z F x y z 确定了两个一元函数. = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 2) G x y u v F x y u v 确定了两个二元函数. = = = ( , ) ( , ) ( , ) 3) z z u v y y u v x x u v 确定了一个以u,v为中间变量 x,y为自变量的二元函数
、微分学的应用 几何上的应用 x=o( (1)空间曲线y=(t)(为参数切线和法平面 z=(t) 切向量为:T={p(4),vy(4),o(t) 切线方程为:0=1%0=x p(to) y(to) a(to) 法平面方程为 q(to)(x-x)+v(to)(y-y)+o)(o)(z-3)=0 K心
三、微分学的应用 1. 几何上的应用 空间曲线 ( 为参数)的切线和法平面 ( ) ( ) ( ) (1) t z t y t x t = = = :T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 切向量为 ( ) ( ) ( ) : 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切线方程为 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0. t0 x − x0 + t0 y − y0 + t0 z − z0 = 法平面方程为
()间曲线F(xy)=0 的切线和法平面 G(x,y,z)=0 切向量为: xo, Vo, 40 x 0 (x0,y0, ,1 050,<0 xo’yos 0 K心
空间曲线 的切线和法平面 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 (2) G x y z F x y z 切向量为: {1, , } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dx dz dx dy T = { ,1, } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dy dz dy dx T = { , ,1} ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dz dy dz dx T =