Chapter 2(2 二重积分的计算
Chapter 2(2) 二重积分的计算
教学要求: 1.掌握二重积分的计算方法 直角坐标、极坐标、对称性简化 K<DD
教学要求： 1. 掌握二重积分的计算方法—— 直角坐标、极坐标、对称性简化
在直角坐标下计算二重积分 在极坐标下计算二重积分 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 K心
一 .在直角坐标下计算二重积分 二.在极坐标下计算二重积分 三.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
在直角坐标下计算二重积分 设f(x,y)≥0,D:q1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b, 91(x),q2(x)连续求f(x,y)do Solution z=f(,y) 围成的立体为曲顶柱体 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法 -A(x) 则v=4(x)dty=2(x 其中A(x)为平行于yoz面的截面面积 y=p(x) 是一个曲边梯形,如图 K心
一 .在直角坐标下计算二重积分 ( , ) 0, : ( ) ( ), , 设f x y D 1 x y 2 x a x b ( ), ( ) , ( , ) . 1 2 D x x 连续 求 f x y d a x b z y x Solution. z = f (x, y) 围成的立体为曲顶柱体. A(x) ( ) 1 y = x ( ) y = 2 x 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法. = b a 则V A(x)dx 其中A(x)为平行于yoz面的截面面积 是一个曲边梯形，如图
∴A(x) q2(x) f(x,y)小 3=f(x,y) 1(x) ∫(x,ld=1m:(x,y)h D 2 注意: (1)先对y后对x的二次积分,计算时先把x看作常数, 对y积分得到关于x的函数,再对x在{a,b上积分,记为 fS 5(x, y)do=S ax pirlo(x,y)dy D (2)f(x,y)<0时公式仍成立 K心
o y z z = f (x, y) ( ) 1 x ( ) 2 x A(x) = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) x x A x f x y dy f x y d f x y dy dx b a x x D = ( , ) [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 注意： (1)先对y后对x的二次积分，计算时先把x看作常数， 对y积分得到关于x的函数，再对x在[a,b]上积分，记为 = ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) x x b a D f x y d dx f x y dy (2) f (x, y) 0时公式仍成立