中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter2（1）重积分的概念与性质

Chapter 2(1 重积分的概念与性质

Chapter 2(1) 重积分的概念与性质

教学要求: 1.理解二重积分、三重积分的概念; 2.了解重积分的性质 3.了解二重积分、三重积分的中值定理 K<DD

教学要求： 1. 理解二重积分、三重积分的概念; 2. 了解重积分的性质; 3. 了解二重积分、三重积分的中值定理

二重积分的概念与性质 三重积分的概念与性质 K心[

一 .二重积分的概念与性质 二.三重积分的概念与性质

二重积分的概念与性质 1.二重积分的定义 则V=lim∑f(5,m)△o ->0 1)引例(考虑曲顶柱体的体积) 已知以z=(xy)为曲顶,以xoy面上区域D为底,侧面是 以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面,构成 曲顶柱体,求其体积 z=f(x, y) Solution根据平顶柱体体积=底面积x高 f(51,m) (1)分割D得△G1,△a2,…,△a;…,△σn (2)V(,m)∈△,则v≈f(;,mh)△a J 且V=∑V≈∑∫(5,m)△σ D (3)令礼=max{△,“,△o的直径(5,m)图圆

一 .二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义 1) 引例（考虑曲顶柱体的体积） 已知以z=f(x,y)为曲顶，以xoy面上区域D为底，侧面是 以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面，构成一 曲顶柱体，求其体积. x y z o D z = f (x, y) Solution. 根据平顶柱体体积= 底面积高 D    i  n (1) , , , , , 分割 得 1 2    i ( , )  i i ( , ) i i f   i i i i i i i (2)( , ) ,则V  f ( , )   = = =   n i i i i n i i V V f 1 1 且 ( , )  (3) max{ , , } 令 =  1   n的直径 lim ( , ) . 0 =   → n i i i i V f     则

2)二重积分的定义 设f(x,y)是闭区域D上的有界函数 (1)将D任意分成n个小区域△σ1,…,△an, 其中△a既表第个区域,又表其面积; (2)V(,n)∈△a1,作乘积f(;,m1)△a(i=1,2,…,n 并作和∑f(5;m1)△a; (3)令元=max{△o的直径},取极限mm∑f(51,m)△a1; 1<i<n A->0 若此极限存在,则称该极限值为f(x,y)在D上的 二重积分,记为 ∫(x,y)do=lm∑f(9,m)△ D ->0 K心

2) 二重积分的定义 ( , ) ; (2) ( , ) , ( , ) ( 1,2, , ), , ; (1) , , , ( , ) , 1 1  =      =    n i i i i i i i i i i i n f f i n i D n f x y D             并作和 作乘积 其中 既表第 个区域 又表其面积 将 任意分成 个小区域 设 是闭区域 上的有界函数   (3) max{ }, lim ( , ) ; 1 1 0  → =   =   n i i i i i i n   f     令 的直径 取极限 二重积分 记为 若此极限存在 则称该极限值为 在 上的 , , f (x, y) D ( , ) lim ( , ) . 1 0   → = =  n i i i i D f x y d f    