结论：双边幂级数 ∑cn(?-zo)”的收敛区域为 n=-00 圆环域R1<z-o<R2: 常见的特殊圆环域： R .0 0<z-z0<R2R1<z-z0<00<z-z0<0
结论: 双边幂级数 n的收敛区域为 n n c (z z ) − 0 =− . 1 0 R2 圆环域R z − z R1 R2 . 0 z 常见的特殊圆环域: R2 . 0 z 0 0 R2 z − z R1 . 0 z R1 z − z0 0 z − z0 . 0 z 6
定理4.11双边幂级数f(z)=∑cn(2-o)的收敛圆环 H:r<2-2o<R,(0≤r<R≤+o) 则(1)上述级数在H内绝对收敛并内闭一致收敛于 f(z)=f(z)+f,(z) (2)f(z)在H内解析 (3)fa)=∑c.(&-z)” -00 在H内可逐项求导，逐项求积分
定理4.11双边幂级数 的收敛圆环 + − = − n n f (z) c (z z )0 : ,(0 ) H r z − z0 R r R + 则(1)上述级数在H内绝对收敛并内闭一致收敛于 ( ) ( ) ( ) 1 2 f z = f z + f z (2) f (z)在H内解析 + − = − n n (3) f (z) c (z z ) 0 在H内可逐项求导,逐项求积分,. 7
二、洛朗级数 定理4.7洛朗定理 设f(z)在圆环域R<2-o<R,内处处解析， 那末f(z)在此圆环域内可展开成 ●● fz)=∑c(z-z), 脚。如gg为阴医改 (n=0,±1，.) C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线
二、洛朗级数 定理4.7洛朗定理 设 f (z)在圆环域R1 z − z0 R2 内处处解析， ( ) ( ) , 0 n n n f z = c z − z =− + − = C n n z f i c d ( ) ( ) 2π 1 1 0 其中 (n = 0, 1, ) C为圆环域内绕 0 的任一正向简单闭曲线. z 为洛朗系数. 那末 f (z)在此圆环域内可展开成 8
证明：在圆环域内作圆T5-=r和T25-o=R, 其中，R,<r<R<R,z是圆环域<5-zo<R内任意 一点，根据多连域的柯西积分公式有 e恩g 对于第一个积分，由于在工，上，点z在T的内部，所以 乙-z0 <1, 5-z0 又因为f(5)在T2上连续，因此存在一个正常数M, 使得f(5)<M,于是当5-o<R时可以得到
一点,根据多连域的柯西积分公式有 其中, 是圆环域 内任意 证明：在圆环域内作圆 ： 和 ： r R R z r z R z r z R − − = − = 2 0 1 0 2 0 , , 1 R d z f i d z f i f z − − − = 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( ) 对于第一个积分,由于在2 上，点z在2 的内部,所以 1, 0 0 − − z z z 使得 于是当 时可以得到 又因为 在 上连续，因此存在一个正常数 f M z R f M − 0 2 ( ) , ( ) , 9
十00 英e头=l2 考虑第二个积分，由于在工上，点z在工的外部，所以 1 于是 1=- 1 1 5-7 -1-5- (?-z)” 7-Z0 10
n n d c z z z f i ( ) ( ) 2 1 0 0 0 2 = − − + , 0,1,2, ( ) ( ) 2 1 2 1 0 = − = + d n z f i cn n 其中 考虑第二个积分,由于在1 上，点z在1 的外部,所以 1, 0 0 − − z z z 于是 = − − − = − − − − − = − − 1 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n z z z z z z z z z 10