§3.4相互独立的随机变量 (2)因为X与Y相互独立，所以有 P=P。·Djy(i=1,2;j=1,2,3) 特别有 n:=→gga- 又a+B有得B-行
, ( 1,2; 1,2,3) p p p i j ij i j 特别有 12 1 2 p p p a 9 1 3 1 9 1 , 9 2 a 又 , 3 1 a b . 9 1 得 b (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 §3.4 相互独立的随机变量
§3.4相互独立的随机变量 二维正态随机变量(X,Y)的独立性问题 (X,Y)~N(41,42,o,op) -1x-42_2(x-4y-4+y- f(x,y)= e241-p2 0102 2m0102V1-p2 (-0<X<0,-0<y<0) 其中h1,42,01,02,p均为常数，且01>0,02>0，-1<p<1. 而前面已经证明：X~M41,02),Y~M42,02) 对任意的x有团孔=，1e,】 2元0102
二维正态随机变量( X,Y )的独立性问题 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( )( ) ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 1 ( , ) σ y μ σ σ ρ x μ y μ σ x μ ρ e πσ σ ρ f x y , , , , , 0, 0, 1 1. 其中μ1 μ2 σ1 σ2 ρ均为常数 且σ1 σ2 ρ ( x , y ), ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N μ1 μ2 σ1 σ ρ 而前面已经证明：X～N(μ1 ,σ1 2)，Y～N(μ2 ,σ2 2) 对任意的x,y有fX (x)fY (y)＝ 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 s m s m ps s x y e §3.4 相互独立的随机变量
§3.4相互独立的随机变量 。二维正态随机变量(X,Y)有如下结论： ●1°当p=0时，cy)=fcf0y)处处成立，X和Y相互独 立 2°若X和Y相互独立，则由于fcy)及fx)和f)是连续 函数，对任意的y有fy)=ff),不妨令x=山1y= 42代入等式 有 o102V1-p2 即p=0。 2π0102 9综上：对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独 立的充要条件是参数p=0
二维正态随机变量( X,Y )有如下结论： 1°当ρ＝0时，f(x,y)＝fX (x)fY (y)处处成立，X和Y相互独 立 2°若X和Y相互独立，则由于f(x,y)及fX (x)和fY (y)是连续 函数，对任意的x,y有f(x,y)＝fX (x)fY (y)，不妨令x＝μ1 ,y＝ μ2代入等式 有 ＝ 即ρ＝0。 综上：对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独 立的充要条件是参数ρ＝0 2 2 1 2 1 1 ps s 2 1 2 1 ps s §3.4 相互独立的随机变量
§3.4相互独立的随机变量 例一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时， 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立， 求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时 间，则相应的概率密度： fx(x)= 1/4,8<x<12,0)= 1/2,7<x<9, 0,其它， 0,其它， 本题即是要求P{X一Y≤1/12)
例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时 间，则相应的概率密度： 解 0, , 1 4, 8 12, ( ) 其 它 x f X x 0, , 1 2, 7 9, ( ) 其 它 x f y Y §3.4 相互独立的随机变量 本题即是要求P{|X－Y|≤1/12}
§3.4相互独立的随机变量 先求联合概率密度fxy) f(x,y)=f(x)f(y) 1/8,8<x<12,7<y<9, 0, 其它 P{X-Y≤1/12} =∬f(x,)dxdy B =8×(G的面积 8 12x
f (x, y) f (x) f (y) X Y 0, . 1 8, 8 12,7 9, 其它 x y P{ X Y £ 1 12} G f (x, y)d xd y ( ). 8 1 G 的面积 O x y 8 12 7 9 A B B C C G 先求联合概率密度f(x,y) §3.4 相互独立的随机变量