第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 §3.3条件分布 9§3,4相互独立的随机变量 。§3.5两个随机变量的函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 条件分布 §3.4 相互独立的随机变量 §3.5 两个随机变量的函数的分布
§3.4相互独立的随机变量 定义：设Fxy)及Fc)和Fy)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有xy有 P{X≤，YS}=P{X≤PY百y}, 即Fy)=Fxc)FO) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y),y)及f心)和fy)分别为其 概率密度和边缘概率密度：X和Y相互独立的条件等价于 c)=心f)几乎处处成立 。几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合（点， 线)以外，处处成立
§3.4 相互独立的随机变量 定义： 设F(x,y)及FX (x)和FY (y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}P{Y≤y}， 即 F(x,y)＝FX (x)FY (y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y)，f(x,y)及fX (x)和fY (y)分别为其 概率密度和边缘概率密度： X和Y相互独立的条件等价于 f(x,y)＝fX (x)fY (y)几乎处处成立 几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合(点， 线)以外，处处成立
§3.4相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y),X和Y相互独立 的条件等价于PX=,Y=y=PX=PY =y}对于X和Y的所有可能取值（心y)都成立， 或记为p=pp)i,j=1,2,. ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便
§3.4 相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y)，X和Y相互独立 的条件等价于P{X＝xi ,Y＝yj }＝P{X＝xi }P{Y ＝yj }对于X和Y的所有可能取值(xi ,yj )都成立， 或记为pij＝pi•p•j，i，j＝1，2，. ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便
§3.4相互独立的随机变量 例1已知(X,Y)的分布律为 (X,Y)(1,10(1,2)(1,3) (2,10 (2,2)(2,3) B (1)求a与应满足的条件， (2)若X与Y相互独立，求a与B的值. 解将(X,Y)的分布律改写为
(X,Y ) ij p (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 6 1 9 1 18 1 3 1 a b 解 将 (X,Y)的分布律改写为 例1 已知(X,Y)的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件 a b a b X Y §3.4 相互独立的随机变量
§3.4相互独立的随机变量 2 3 P。=P{X=x} 1 1 1 6 9 18 3 1 2 3 a B 3+a+B 1 1 卫=P=y I- +0 2 9 +B 18 3+a+B (由分布律的性质知a≥0P≥0，号+a+日=l 故a与B应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 3
(1)由分布律的性质知 a ³ 0, b ³ 0, 1, 3 2 a b . 3 1 故a与b应满足的条件是:a ³ 0, b ³ 0 且a b X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1 a b { } i i p P X x 3 1 a b 3 1 { } j j p P Y y 2 1 a 9 1 b 18 1 a b 3 2 §3.4 相互独立的随机变量