1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学我们还可以通过另一个截面来求F=f (xy)图7-9Z=y.z=f (xy)曲顶柱体的体积，从而得到二重积分的另一个计算方法.现过轴上任一点做垂直于xOy面的截面，这是一Q(y.)O(yo)=[' f (x yo)dx个曲边梯形，是以[a,b1为底，以曲面yodC01z=f(x,y)和平面y=yo的交线azy=f(x,yo)为顶的曲边梯形（见图7-D9), 即 Q(yo)=[" f(x, y)dx.x26V
26 第七章 多元函数积分学 我们还可以通过另一个截面来求 曲顶柱体的体积，从而得到二重积分 的另一个计算方法. 现 过 y 轴上任一 点 0 y 做垂直于 xOy 面的截面，这是一 个曲边梯形，是以[ , ] a b 为底，以曲面 z f x y = ( , ) 和平面 0 y y = 的交线 0 y f x y = ( , )为顶的曲边梯形（见图 7- 9）， 即 0 0 ( ) ( , )d b a Q y f x y x = . 图 7-9 1､矩形区域上的二重积分 z=f (x,y ) z=f (x,y ) y=y 0 y 0 d a c b D Q( y 0 ) Q( y 0 )= b a f (x ,y 0 )d x O x z y ▲▲▲
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学由y.的任意性可知，过轴上任一点的截面面积为Q(y)=["f(x,y)dx，这是y的函数.利用已知截面面积的立体体积公式可知，曲顶柱体的体积是V= I"o(y)dy= ["r' f(x, y)dx dy (2)式（2）的右端称为先对x、后对y的二次积分27
27 第七章 多元函数积分学 由 0 y 的任意性可知，过 y 轴上任一点 y 的截面面积 为 ( ) ( , )d b a Q y f x y x = ，这是 y 的函数. 利用已知截面面积的立体体积公式可知， 曲顶柱体的体积是 ( )d ( , )d d d d b c c a V Q y y f x y x y = = . （2） 式（2）的右端称为先对 x、后对 y 的二次积分. 1､矩形区域上的二重积分
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学V= "o(v)dy = I"[" f(x, y)dx dy.(2)V=f"" (x,y)dx dy= "dyf" f(x, )dx.上述公式也记为因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式：(,dy='x"(D-[a,b][c,d]上式对f(x,y)<0也成立28<>
28 第七章 多元函数积分学 上述公式也记为 因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式： [ , ] [ , ] ( , )d d d ( , )d d ( , )d b d d b a c c a D a b c d f x y x y x f x y y y f x y x = = = 上式对 f x y ( , ) 0 也成立. 1､矩形区域上的二重积分 ( , )d d d ( , )d d b d b c a c a V f x y x y y f x y x = = . ( )d ( , )d d d d b c c a V Q y y f x y x y = = . （2）
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学例5计算二重积分[e*+ydxdy，其中区域D是由x=0,x=1,y=0，y=1所围D成的矩形例5也可以用另外一种次序的二次积分来计算[fe*'dxdy=f'dyf'e'e'dx=f'e'dyf'e'dx['e'(e0)dy = ['e'(e-1)dy=(e-1)?29
29 第七章 多元函数积分学 例 5 也可以用另外一种次序的二次积分来计算. e d d x y D x y + 1 1 0 0 e (e )d y x = y 1､矩形区域上的二重积分 例 5 计算二重积分 e d d , x y D x y + 其中区域 D 是 由 x = 0, x =1, y = 0 , y = 1所 围 成的矩形. 1 1 0 0 = d e e d x y y x 1 1 0 0 e d e d y x = y x 1 0 e (e 1)d y = − y 2 = − (e 1)
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学例 6 计算 I =[[xy2dxdy,其中 D=[0,1]×[1,2]D解f(xy)=xy在D上连续，若先对x积分后对y积分，则有[[若先对积分后对x积分，则有7I= pdy =a'dy=号[dx =xdx =6D30
30 第七章 多元函数积分学 例 6 计算 2 d d D I xy x y = ，其中 D = 0,1 1,2 . 解 ( ) 2 f x y xy , = 在D 上连续， 2 = d d D I xy x y 若先对 y 积分后对 x积分， 2 = d d D I xy x y 1､矩形区域上的二重积分 若先对 x积分后对 y 积分，则有7 6 = 2 1 2 1 0 = d d y xy x 2 2 1 1 d 2 = y y 2 3 1 1 6 = y 则有 7 6 = 1 2 2 0 1 = d d x xy y 2 3 1 0 1 d 3 = y x x 1 0 7 d 3 = x x 1 2 0 7 6 = x 1 2 2 2 1 0 d 2 = x y y