1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学设函数z=f(x,y)在矩形区域D=((x,y)/a≤x≤b,c≤y≤d)上连续且f(x,y)≥0.由前面的内容可知，{[f(x,y)dxdy的值等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积21
21 第七章 多元函数积分学 设函数 z f x y = ( , )在矩形区域 D x y a x b c y d = {( , ) | , }上连续， 且 f x y ( , ) 0 . 由前面的内容可知， ( , )d d D f x y x y 的值等于以 D 为底，以曲面 z f x y = ( , )为 顶的曲顶柱体的体积. 1､矩形区域上的二重积分
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学在区间[a,b]上任意选定z=f(x,y)Z图 7-8Xoz=f(x,y)点xo，作垂直于x轴的平面x=xo，此平面截曲顶柱体所得到的截面是一个以[c,d1为底的S(xo)以曲线z=f(xoJ)为曲边的曲d S(xo)=I°f(xo,y)dy边梯形（图7-8）.由定积分的y几何应用可知，曲边梯形的面积可以用定积分来计算，则截面面D积为 S(xo)=[ f(xo, J)dy220
22 第七章 多元函数积分学 在区间 [ , ] a b 上任意选定一 点 0 x ，作垂直于 x 轴的平面 0 x x = ，此平面截曲顶柱体所得 到的截面是一个以[ , ] c d 为底的 以曲线 0 z f x y = ( , ) 为曲边的曲 边梯形（图 7-8）. 1､矩形区域上的二重积分 c S(x0) D d a z=f (x,y) S(x0)= d c f (x0 ,y)dy y x z z=f (x,y) x=x0 x0 由定积分的 几何应用可知, 曲边梯形的面积 可以用定积分来计算, 则截面面 积为 0 0 ( ) ( , )d d c S x f x y y = . 图 7-8 b▲▲▲
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学对于区间[abl上的任何一点x，对应的截面面积为S(x)= f" f(x, y)dy.故曲顶柱体的体积V为V= f' s(x)dx = "[ f(x, y)dy dx = J' dxf" f(x, y)dy即[[ f(x, y)dxdy = [' dx[" f(x, y)dy(1)T式(1)的右端称为先对y后对x的二次积分这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对V后对x的二次积分来计算.230C
23 第七章 多元函数积分学 对于区间[ , ] a b 上的任何一点 x，对应的截面面积为 ( ) ( , )d d c S x f x y y = . 故曲顶柱体的体积V 为 ( )d ( , )d d d ( , )d b b d b d a a c a c V S x x f x y y x x f x y y = = = 即 ( , )d d d ( , )d b d a c D f x y x y x f x y y = . (1) 式(1)的右端称为先对 y 后对x 的二次积分. 这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对 y 后对x的二次积分 来计算. 1､矩形区域上的二重积分
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学例 4 计算定积分[(x+y)dy解因为被积函数x+y是x,y的二元函数，而积分变量是y．因此求x+y的原函数的时候，可以把x看成是常数，故原函数为x·V故定积分的值为2x+11f'(x+y)dy=x [y]l26 = x(1-0)+(12 -03) =22这是一个关于x的函数24
24 第七章 多元函数积分学 例 4 计算定积分 1 0 ( )d x y y + . 解 因为被积函数 x y + 是 x y, 的二元函数，而积分变量是 y . 故定积分的值为 1 0 ( )d x y y + 这是一个关于 x的函数. 1､矩形区域上的二重积分 1 2 1 0 0 1 = | | 2 x y y + = 1 2 2 (1 0) (1 0 ) 2 x − + − 1 2 1 2 2 x x + = + = . 因此求 x y + 的原函数的时候，可以把 x看成是常数，故原函数为 1 2 2 x y y +
1、矩形区域上的二重积分第七章多元函数积分学例5计算二重积分[[e*+>dxdy，其中区域D是由x=0,x=1,y=0，=1所围D成的矩形解因为D是矩形区域，且e*+y=e·e,所以e*+'dxdy=['dx'e'e'dy=[[e'dx'e'dI'e*(e'b)dx = f'e*(e-1)dx =(e-1)25
25 第七章 多元函数积分学 例 5 计算二重积分 e d d , x y D x y + 其中区域 D 是 由 x = 0, x =1, y = 0 , y = 1所 围 成的矩形. 解 因为 D 是矩形区域,且e e e , x y x y + = 所以 e d d x y D x y + 1 1 0 0 e (e )d x y = x 1､矩形区域上的二重积分 1 1 0 0 = d e e d x y x y 1 1 0 0 e d e d x y = x y 1 0 e (e 1)d x = − x 2 = − (e 1)