3、二重积分的性质第七章多元函数积分学性质6设S是区域D的面积.如果f(x.V)在D上有最大值M和最小值m则有mS,≤[[f(x, )do≤MS, ;这个不等式称为二重积分的估值不等式性质7（二重积分的中值定理）如果f(x,J）在有界闭区域D上连续，则在D上至少可以找到一点（n），使得f(x,y)do=f(E,n).Sp.D16
16 第七章 多元函数积分学 性质 6 设 D S 是区域 D 的面积. 如果 f x y ( , )在 D 上有最大值 M 和最小值m， 则有 D D ( , d) D mS f x y MS ； 这个不等式称为二重积分的估值不等式. 性质 7 （二重积分的中值定理）如果 f x y ( , )在有界闭区域 D 上连续，则在 D 上至少可以找到一点 ( , ) ，使得 ( , )d ( , ) D D f x y f S = . 3､二重积分的性质
3、二重积分的性质第七章多元函数积分学例2 比较积分[[In(x+y)d与[[[ln(x+y)}d的大小,其中区域 D是三角0D形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1)(2,0)解如图7-6，三斜边方程x+y=2,在D内有1≤x+y≤2<e,故y40≤ln(x+y)≤ln2<lne<1,(1,1)于是 In(x+y)>[In(x+y)},因此0(1,0)(2,0) x[In(x + y)do > [[[ln(x+ y)Pdg图7-617
17 第七章 多元函数积分学 例 2 比较积分 ln( )d D x y + 与 2 [ln( )] d D x y + 的大小，其中区域 D 是三角 形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解 如图 7-6， 0 ln( ) ln 2 ln e 1, + x y 于是ln( ) [ln( )] , 2 x + y x + y 因此 2 ln( )d [ln( )] d . D D x y x y + + 3､二重积分的性质 ▲▲▲ 图 7-6 三斜边方程 x + y = 2,在 D 内有1 2 e, + x y 故
3、二重积分的性质第七章多元函数积分学e(x+y)d的值，其中D是椭圆闭区域：例3不作计算，估计I=D2(0<b<a).b20解区域D的面积α=ab元，在D上因为0≤x2+所以l=e°≤e++y由性质 6 知[[e(+y)d.0从而有 ab元≤[e(+)d≤abea18
18 第七章 多元函数积分学 例 3 不作计算，估计 2 2 ( ) e d x y D I + = 的值，其中 D 是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2 + b y a x (0 b a) . 解 区域 D 的面积 = abπ, 所以 2 2 2 0 1 e e e x y a + = . 由性质 6 知 2 2 2 ( ) e d e x y a D + ， 从而有 2 2 2 ( ) π e d πe x y a D ab ab + . 3､二重积分的性质 在 D 上因为0 , 2 2 2 x + y a
二、直角坐标系下二重积分的计算第七章多元函数积分学根据二重积分的定义，如果函数f(x.v)在区域D上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴Ao1和y轴的两组直线来分割积分区域D，则除D了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小Ayi闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域△△xi的边长为△x,和Ayi，于是△o，=△x,Ay（见图7-7)0x图 7-719
19 第七章 多元函数积分学 根据二重积分的定义，如果函数 f (x, y)在区域 D 上可积，则二重积分的值与 对积分区域的分割方法无关. 二､直角坐标系下二重积分的计算 因此，在直角坐标系中，常用平行于 x 轴 和 y 轴的两组直线来分割积分区域 D ，则除 了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小 闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域 i 的边长为 i x 和 j y ，于是 i i j = x y （见 图 7-7）. O y x D i yi xi ▲▲▲ 图 7-7
二、直角坐标系下二重积分的计算第七章多元函数积分学故在直角坐标系中，面积微元d可记为dxdy，即do=dxdy.进而把二重积分记为「f(x,y)dxdy，这里我们把dxdy称为直角坐标系下的面积微元D在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难的，本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算20
20 第七章 多元函数积分学 在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难 的， 二､直角坐标系下二重积分的计算 故在直角坐标系中，面积微元d 可记为 d dx y ， 即d d d = x y . 进而把二 重积分记为 ( , )d d D f x y x y ，这里我们把d dx y 称为直角坐标系下的面积微元. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算. 本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分 化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分