2、二重积分的概念第七章多元函数积分学如果二重积分[f(x,y)d存在，也称函数f(x,)在区域D上可积．由二重D积分的定义可知，在区域D上可积的函数f(x,y)一定是D上的有界函数.反过来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理定理1在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数很容易知道，当f(x,y)≥0时，曲顶柱体的体积V={[f(x,J)d；当f(x,y)<0时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积V=-[f(x,y)d011V
11 第七章 多元函数积分学 如果二重积分 ( , )d D f x y 存在，也称函数 f x y ( , )在区域 D 上可积. 由二重 积分的定义可知，在区域 D 上可积的函数 f x y ( , ) 一定是 D 上的有界函数. 反 过 来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理. 定理 1 在区域 D 上的连续函数一定是 D 上的可积函数. 很容易知道，当 f x y ( , ) 0 时，曲顶柱体的体积 ( , )d D V f x y = ； 当 f x y ( , ) 0 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积 ( , )d D V f x y = − . 2､二重积分的概念
2、二重积分的概念第七章多元函数积分学例1用二重积分表示上半球体x2+y2+z2≤1,z≥0的体积并写出积分区域解首先上半球体x?+y?+2?≤1与xOy面的交线z=0即为区域D的边界曲线：? + y2 = 1上半球面所对应的方程为z= /1-x?-y?12
12 第七章 多元函数积分学 例 1 用二重积分表示上半球体 2 2 2 x y z z + + 1, 0 的体积，并写出积分区域. 解 首先上半球体 2 2 2 x y z + + 1与 xOy 面的交线 2 2 2 1 0 x y z z + + = = ， 上半球面所对应的方程为 2 2 z x y = − − 1 . 2､二重积分的概念 即为区域 D 的边界曲线： 2 2 x y + =1
2、二重积分的概念第七章多元函数积分学例1用二重积分表示上半球体x?+y?+z2≤1,z≥0的体积并写出积分区域故上半球面可以看成是以D为底的，以z=/1-x2-y?为顶的曲顶柱体的体积（见图7-5），=/1-x2-1故V= [ i-x?-y'doDyD其中D=((x,y)/x? +y?≤1)O2+11图7-5X13?O
13 第七章 多元函数积分学 例 1 用二重积分表示上半球体 2 2 2 x y z z + + 1, 0 的体积，并写出积分区域. 故上半球面可以看成是以 D 为底的，以 2 2 z x y = − − 1 为顶的曲顶柱体的体 积（见图 7-5）， 故 2 2 1 d D V x y = − − ， 其中 2 2 D x y x y = + {( , ) | 1}. 2､二重积分的概念 图 7-5 D x 2+y 2≤1 1 1 y x O z z= 1 x 2 y 2 - -
3、二重积分的性质第七章多元函数积分学二重积分有着和定积分相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上可积.性质1[/[f(x, y)+ g(x, y)]do = [[ f(x, y)do + [ g(x, y)do ;DDD性质2[f(x,y)do=k[[ f(x,y)do (ke R) ;D性质3设D由D、D,组成，则Jf f(x, y)do = [[ f(x,y)d+ [[ f(x, y)do ;D=Di+D2DD14V
14 第七章 多元函数积分学 二重积分有着和定积分相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积. 性质 1 ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d D D D f x y g x y f x y g x y + = + ； 性质 2 ( , )d ( , )d ( ) D D kf x y k f x y k R = ； 性质 3 设 D 由 D1 、 D2 组成，则 1 2 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d D D D D D f x y f x y f x y = + = + ； 3､二重积分的性质
3、二重积分的性质第七章多元函数积分学性质4如果f(x,y)=1，则有[1dx=「[dx=D的面积;DP这个性质表明：以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积性质5如果在区域D上满足f(x,J)≤g(x,y)，则有[[ f(x, y)dg≤ JI g(x, y)d ;DO([f(x)d≤[ x(, dl有特别地,D15
15 第七章 多元函数积分学 性质 4 如果 f x y ( , ) 1 ，则有 1d d D D x x D = = 的面积； 这个性质表明: 以 D 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积. 性 质 5 如果在区域 D 上满足 f x y g x y ( , ) ( , ) ， 则 有 ( , )d ( , )d D D f x y g x y ； 特别地, 3､二重积分的性质 有 ( , )d | ( , ) | d . D D f x y f x y