一、二重积分的概念和性质第七章多元函数积分学本节将由曲顶柱体的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相关性质21.曲顶柱体的体积A如图7-3，曲面z=f(x,J)在平面闭区域z=f(xy)图7-3D上连续，且有f(x,V)≥0.过D的边界作垂直于xOv面的柱面S，则区域D和柱面S以及f(xiy)曲面z=f(x,J）构成一个封闭的立体，称为以D为底的，z=f(x,J)为顶的曲顶柱体.类似ViL于曲边梯形面积的求法，我们采取“分割”、“近D似”、“求和”、“取极限”的步骤来求曲顶柱体的体积6
6 第七章 多元函数积分学 本节将由曲顶柱体的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相 关性质. 1. 曲顶柱体的体积 如图 7-3， 一､二重积分的概念和性质 类 似 于曲边梯形面积的求法，我们采取“分割”、“近 似”、“求和”、“取极限”的步骤来求曲顶柱体的 体积. 曲 面 z f x y = ( , ) 在平面闭区域 D 上连续，且有 f x y ( , ) 0 . 过 D 的边界作垂 直于 xOy 面的柱面 S ，则区域 D 和柱面 S 以及 曲 面 z f x y = ( , ) 构成一个封闭的立体，称为以 D 为底的， z f x y = ( , )为顶的曲顶柱体. D f (xi,yi) z=f (x,y) x O y (xi,yi) ▲▲▲ 图 7-3
1、曲顶主体的体积第七章多元函数积分学将D任意分割成n份：AD,AD,AD，，记每一份的面积分别为Aoi,△o,，"",△o,，过第i份ND的边界作垂直于xOy面的柱体，则构成了一个以D,为底，以z=f(x,y)为顶的小曲顶柱体在△D上任取一点(x，y），做乘积f(x,y)A，，则第i块的小曲顶柱体的体积可以近似的表示为Vf(x,y)Ao,而整个的立体体积可以用和式Zf(x,yAo来表示，设为△D,AD…△D,中区域直径（区域上任意两点间距离的最大者）的最大值，令入一→0时，所得的极限值limftyA即为所求的曲顶柱体的体积2-0
7 第七章 多元函数积分学 将 D 任意分割成 n 份 ： 1 2 , , D D D n ，记每一份的面积分别为 1 2 , , , , n 过 第i 份 Di 的边界作垂直于 xOy 面的柱体，则构成了一个以 Di 为底，以 z f x y = ( , )为顶的小曲顶柱体. 在Di 上任取一点( , ) i i x y ，做乘积 ( , ) i i i f x y ，则第i 块的小曲顶柱体的体 积可以近似的表示为 ( , ) V f x y i i i i ,而整个的立体体积可以用和式 1 ( , ) n i i i i f x y = 来表示，设 为 1 2 , , D D D n 中区域直径（区域上任意两点间距离的最大者）的最 大值，令 →0时，所得的极限值 0 1 lim ( , ) n i i i i f x y → = 即为所求的曲顶柱体的体积. 1､曲顶主体的体积
1、曲顶主体的体积第七章多元函数积分学上面的问题把所求量归结为和式的极限．由于在物理、力学、几何和工程中技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所以有必要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积分的定义8
8 第七章 多元函数积分学 上面的问题把所求量归结为和式的极限. 1､曲顶主体的体积 所以有必 要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积 分的定义. 由于在物理、力学、几何和工程中 技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示
2、二重积分的概念第七章 多元函数积分学定义设f(x,y)是平面闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n小块：AD,AD,AD，记第i块的面积为△o,(i=1,2,.n），在第i块上任取一点(x,y）（见图7-4）,y图7-4(xi,y)作≥f(x,y,)Ao,,取=maxdiam(Ao,) ,即AO入是各D的直径中的最大值当入一→0时如果limZf(x,y)Ac,总是存在，则极限值称为函数Cxf(x,J)在平面闭区域D上的二重积分9>
9 第七章 多元函数积分学 定义 设 f x y ( , )是平面闭区域 D 上的有界函数，将 D 任意分割成 n 小块： 1 2 , , D D D n ，记第i 块的面积为 ( 1,2, . ) i = i n ，在第i 块上任取一点( , ) i i x y （见图 7-4）， 2､二重积分的概念 作 1 ( , ) n i i i i f x y = ，取 1 max { }i i n diam = ，即 是各 Di 的直径中的最大值. 当 →0时，如果 0 1 lim ( , ) n i i i i f x y → = 总是存在，则极限值称为函数 f x y ( , )在平面闭区域 D 上的二重积分， (xi ,yi) i x y O 图 7-4
2、二重积分的概念第七章多元函数积分学记为 f(x,y)dg=limZf(x,y,)Ao,.=D其中D称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，d称为面积微元，f(x,y)do称Zf(x,y)Ao,称为积分和为被积表达式i=l10
10 第七章 多元函数积分学 记为 0 1 ( , )d lim ( , ) n i i i D i f x y f x y → = = . 其中 D 称为积分区域， f x y ( , )称为被积函数，d 称 为面积微元， f x y ( , ) d 称 为被积表达式， 1 ( , ) n i i i i f x y = 称为积分和. 2､二重积分的概念