第一章基本概念如果C在U内不是F-不变的，那么不妨设w=dy.此时*（wlu）仍为全纯的，并且没有维零点集，因而在局部上有Ngl-1(U）=元*(NFlu).注意Kylx-1(U) = 元*(Kxlu)+ (k -1)Clx-1(U),这里k是C的分歧指数.因而Kgl元-1(U) = n(KFlu) + (k - 1)Cl-1(U):如果C在U内是F-不变的，那么不妨设w=d，并且元在C上完全分歧，局部方程zk=a.因而元*w=kzk-1dz有一维零点除子（k-1)C,故Ngl元-1(U) =π*(NYlu) +(k -1)Cl元-1(U), Kg = *KF..整体情形下，我们可以找到有效除子E，使得N=元*NY+E.例1.3.6(LinsNeto叶状结构的不变曲线）考虑例1.2.8的LinsNeto叶状结构Fx设Lik是由方程X-whx,=0定义的直线（i<)，这里w=e，可以验证，Lik是Fx-不变曲线.这九条直线共有12个交点p =[1,w,w] (0 ≤ i,j ≤ 2),q0 =[1, 0,0],q1 =[0, 1, 0],q2 =[0,0, 1],这些交点都是F的奇点.对每个Pii，恰有三条直线Lo1,-1,Lo2,-j,L12,i-j经过它.每条直线Lijk上恰有四个交点。为了后面讨论方便，我们把这些交点分成四类：Po =(poo,P12,p21), Pl =(p01,P10,P22), P2=(po2,P11,Po2), Q=(q1,q2, q3),它们可以通过平面自同构变换到彼此.当考虑入=8o的情形.此时w^dH=0,这里H=：因此F有无数F-不变曲线，H=c(cEPl).类似地，对入=wk时,wΛdH=0,这里(1 -a)(wh -y)(wha-y)Hk=7(w-a)(wk+2 -y)(wk+1x-y)■F的所有F-不变曲线为H=c(cEPl)对一个整体全纯1-形式n，如果它在任何点的分界线上恒为零，我们就说n在F上恒为零，根据注记1.1.1，这等价于说n落在映射H°(X,NY）→H(X,2x）的像中（这个单射来自于正合列（1-2)：我们有下面的有趣结论命题1.3.2设F是曲面X上的叶状结构，且q(X)>0,那么以下情形之一成立：(1)存在一个整体全纯1-形式wEH(X,2x)，使得w在F上不恒为零。这推出h(X,KF)>0.(2)任何整体1-形式w都在F上恒为零：此时Albanese映射α：X→Alb(X）是纤维化（称为Albanese纤维化）并且F由Albanese纤维化诱导证明我们假设情形(1)不成立.那么H(X,N）H°(X,2x)，也就是任何整体1-形式w都在F上恒为零，取定一点q，考虑Albanese映射α:XAlb(X),-→对任何分界线C（局部或整体）以及任何两点a,yEC，由于任何全纯1形式都在分界线上消失-8-
第一章基本概念所以它们沿着道路C从y到r积分均为零.这就推得() = 0.a(r) -α(y) =即α(r)=α(y).这样，C被α收缩。对F的每个光滑点，都有分界线通过它，因而dimImα≤-+1.注意到q(X)>0,因而α不是平凡的(由命题??(3),所以α是纤维化,F由α诱导.推论1.3.1如果q(X)>0,那么当以下条件之一成立时，F必由Albanese纤维诱导：(1) h°(X,KF) = 0;(2)KF=0且 Sing(F)+ 0..证明在任何一种条件下，命题1.3.2的情形（2）都成立本节最后，我们讨论带有纤维化结构的曲面上的叶状结构命题1.3.3设F是X上的叶状结构，Φ：X一→B是纤维化，且它诱导的叶状结构G不等于F那么KF=*KB + D+D(),这里D是有效除子，使得对任何pED,F,G在p处不是横截交，特别地，如果F与于的一般纤维横截交，那么D的支集是落在f的纤维中的F-不变曲线.证明直接来自于命题1.1.1-9-
第二章叶状结构的奇点第二章叶状结构的奇点2.1、奇点重数在式（1-1)或（1-4)中，我们规定F在p=（0,0)处的重数（Multiplicity）m(p) := dimc Ox,p/(A, B).在整体上，则可定义m(F) := m(p).pESing(F)由零维子概型的次数定义，实际上m(F) = deg Sing(F)因此由习题??以及式(1-3)可得m(F)=KF·KF-KF-Kx+C2(X)(2-1)= NF-NF+NF-Kx+C2(X)= C2(X) + KF· NF.设n=mult(A)，m=multp(B).我们定义a(p)=min(n,m).它是w在p处零点阶数，也常被记为ord,(F)，并称作F在p处的代数重数（Algebraicmultiplicity)由式(2-1)，我们立刻得到如下经典结论定理2.1.1(Darboux定理[Dar78])）对平面上的d次叶状结构F，我们有m(F)=d+d+1例 2.1.1我们构造两例平面上的1次叶状结构F.根据Darboux定理，m(F)=3.(1)F由如下微分场诱导w=XiX2dXo+2XoX2dX1-3XoXidX2它恰有三个奇点P=[1,0,0],Q=[0,1,1],R=[0,0,1](2)F取为w=X2dXo+XiX2dXi-(X?+XoX2)dX2-此时仅有一个奇点P=[1,0,0].命题2.1.1设F是X上的叶状结构，：X一X是爆发，那么(1) m(α*F) -N2->m(F) -N2）如果X是一般型极小曲面，那么m（F）一N≥0- 10-
第二章叶状结构的奇点证明(1)由例1.2.3及式(2-1)m(α*F)- N2-F =m(F)-N + I(p) +1.由此即得结论(2)若N≤0,则结论显然.不妨设N>0.由Riemann-Roch定理，h(X, (NY)n) + ho(X, Kx @ Nn) ≥O(n2)由Bogomolov定理??，h(X,(NY）n）=O(n)，这就推出h(X,KxNn）>0（n充分大）.因此Kx(Kx+nNF)≥0.这就有KxNF≥0.现在，我们有m(F)-N=c2(X)+NKx≥0.2.2奇点解消基于例1.2.3，我们从局部上来描述叶状结构奇点爆发，令t=.我们有w=(B(a, at) -tA(a, at)dr -A(a, rt)dt)rl(p)设n=multp(A),m=multp(B).我们回顾F在p处的代数重数a(p)=min(n,m)。记A(a,at) =a"A(r,t), B(r,rt) = amB(r,t)于是1(rm-a(p) B(c, t) - tan-a(p) A(a,t)de - an+1-a() A(a, t)dt)(2-2)w=l(p)a(p)因此『a(p)+1,若m=n且ordr(B-tA)>0,1(p) =a(p)，其他情形.另一种等价的说法是：1(p)=a(p)当且仅当E是F-不变的（留给读者验证)如果我们需要考虑F在t=8附近的性态，可以利用s=（即s=)来做爆发w- (A(ys, y) - sB(ys, y)dy + yB(ys, y)ds)yl(p)(8=0处的点就是t=o处的点.进一步设A(ys,y) =y"A'(y,s), B(ys,y) = ymB'(y,s).1(- (yn-a(p) A'(y, s) - sym-a(P) B'(y, s)dy + ym+1-a(p) B'(y, s)ds).W:(2-3)yl(p)-a(p) (例2.2.1考虑原点p附近的叶状结构w=^yda一ady（是非零常数）的爆发，当入≠1时，w=(-1)tdr-rdt=(>-1)sdy+^yds例外曲线E上恰有两个奇点t=0,00,并且I(p)=a(p)=m(p)=1.当入=1时，w=-dt =ds.此时E上没有奇点，并且1(p)=2,a(p)=m(p)=1.-11-
第二章叶状结构的奇点命题2.2.1（VandenEssen重数公式）设pi，，Pr是于在E上的所有奇点.那么m(p:) = m(p) - I(p)2 + I(p) + 1.i=1证明这个等式直接来自于式(1-6)和式(2-1).此时有整体表达式m(F) = m(F) - I(p)2 + l(p) + 1.下面我们直接从局部上重新证明该公式.设n=multp（A)，m=multp（B).我们需要分情形讨论情形1:m>n.由式(2-2)及式(2-3)a = (rm-nB(r,t) -tA(c,t)dr -rA(r,t)dt= -(A'(y,s) - sym-n B(y, s)dy + ym+1-n B(y,s)ds.于是Vanden Essen公式的左边就是相交数之和(A'- sym-nB,ym+1-nB")s=0 +(am-nB-tA,aA)s+0.利用相交数的计算法则，上式等于(A',B')s=0 +(m +1-n)(A',y)s=0 +(m-n)(α,A)s+0 +(A,B)s±0 +(r,A)s+0 +(t,r)t=0注意到(A',y)s=0 + (r,A)s+0 = n, (A',B)s=0 +(A,B)s+0 = (A,B) - nm = m(p) - nm,我们得到m(pi)=m(p)-nm+(m+1-n)n=m(p)-n2+n+1.i=1公式得证情形2:m<n.类似情形1的证明情形3. m= n且 I(p)= n. 此时w = (B(a,t) -tA(a,t)da-aA(r,t)dt= -(A(y, s) - sB'(y, s))dy + yB'(y, s)ds.类似上面的讨论，我们有m(pi) =(A"-sB,yB)s=0 +(B-tA, rA)s+0i=1=(A'- sB",y)s=0 +(B- tA,a)s+0 + m(p) - n2= multp(yA- rB) + m(p) -n?= m(p) - n2 +n+ 1.情形4.m=n且(p)=n+1.此时 = (B(r,t) -tA(r,t) -A(r,t)dt=-(A'(y,s) -sB'(y, s) + B'(y,s)ds- 12-