第一章基本概念例1.2.2（射影平面上的叶状结构）设F是P2上的叶状结构.考虑标准投影元 : C3 _ [0) → IP2, (Xo, X1, X2) → [Xo, X1, X2] = (1, r1, r2)那么F对应的微分场拉回到C3-{0]上，可写为2w - A;(Xo, Xi, X2)dXi,i=0这里A，都是v次齐次多项式，没有公共因子且满足亡X,A,=0.我们定义degw=V.F对应i=0的微分场在仿射坐标卡上可写为wo := Ai(1,1,2)d1 + A2(1,1, 2)d2wi := Ao(yo, 1, y2)dyo + A2(yo, 1, y2)dy2,w2:= Ao(z0,z1,1)dz0 +Ai(20,z1,1)dz1计算转移函数wj1因此NF=Orpa2(u+1)，从而KF=Op2(u-2).我们定义F的次数(Degree)为degF：=-1w在仿射坐标卡上也可以写成如下形式（参见[GMOB89])ade H(X,Tx(d - 1),(1-5)(P(a,y) +rR(a, y)) +(Q(r,y) +yR(a,y))aOy这里d=degF，R是d次齐次多项式，PQ是次数不超过d的多项式.当degF=0时，通过选取合适的坐标，F可以写为标准形式aaor+yoy我们可以直接将式1-5)延拓到无穷远直线Lα上，即考虑坐标变换1ry=3心于是F在无穷远直线U=0附近表达为(o() - up()-(u+p()+ R(1,n)1类似地，我们也可以给出有理曲面上的叶状结构表达式（习题6.21).■此外，我们可以通过对曲面光滑点的爆发，从已知的叶状结构诱导出新的叶状结构，这是研究叶状结构的一种常用方法.例1.2.3(通过爆发得到的叶状结构）设pEX，α：(X,E）→(X,p)是关于p点的爆发，E是例外曲线.设F是X上的叶状结构.我们希望这个结构能够搬到X上考虑拉回a*w：={α*wa}ael.但此时a*w的零点集可能包含E.不妨设l(p)=ordeo*w.从上述拉回中去掉1(p)E后，就可构造出×上的叶状结构：0EH (X,Qx0*NF8Ox(-I(p)E))-3-
第一章基本概念此时(1-6)N=*NFOx(-I(p)E), K=*KFOx((1-l(p))E),因此，如果从切丛的角度看，相当于从拉回*=[α*uα)αel中去除(1(p)-1)E得到今后为了方便，我们也常常将于记为α*F.■例1.2.4(Riccati叶状结构）设：X一→C是一个直纹面（未必相对极小)，F是X上的叶状结构，使得F与β的一般纤维横截相交.我们称这样的F为Riccati叶状结构.有时也说F关于是Riccati的，或适配于F由F的横截性，F限制在一般纤维F上，自然诱导了F的法丛OF(F)，局部上看，就是把[ua}理解成法丛的基（横截性保证了基的非退化性)，它们满足关系α=9α3Ug.因此F的法丛同构于TFF.这就推出TrF=0,即KF=0.因而NF=2不妨假设是相对极小的（即几何直纹面）.设Fo是的一条纤维，它不是F-横截的.考虑F的管状邻域△×Pl,这里△是圆盘，F是其圆心的拉回，（z,w）是局部坐标.设P=(O,O)是F的奇点后面将证明F可在△×Pl上写为w = (a(z)w2 +b(z)w +zc(z))dz +zd(z)dw,(1-7)这里a,b,c,d皆为△上的全纯函数.F在w=o处的表达式可以由坐标变换w=1得到，即w= (a(z)+b(z)u+zc(z)u2)dz-zd(z)du-（见例2.4.3的讨论.）例1.2.5（流叶状结构）设β：X→C是椭圆纤维化（未必相对极小)，F是X上的叶状结构，使得F与β的一般纤维横截相交我们称这样的F为端流叶状结构（TurbulentFoliation)与Riccati叶状结构类似的讨论，此时KF=0.反过来，若一个叶状结构g满足KgF=0,则g要么是端流叶状结构，要么与9一致.-例1.2.6(非常特殊叶状结构[Bru15]）考虑X=P2上的群作用G : [X,Y, Z] → [Z, X,Y]以及线性叶状结构Ca0=+这里（a,9)=（）是仿射坐标（C可以通过齐次化延拓到整个平面上).G在C上的诱导作用为aaGu= A2 + (A2 - A1)u%如果C能保持ΛGu=0处处成立，我们就说C是G-不变的.由直接计算可知，G-不变的充要条件是入1/入2=(1±V-3).因此G不变的叶状结构L即为010(1±V-3)%"+2实际上这两种叶状结构只相差一个坐标变换（,y）一→(y,a).从这个角度说，它是唯一的现在考虑商簇Yo=P2/G.G在IP2上有三个不动点(-1 + V-3), (1 -V-3)], 92 = [1, (-1 - V-3), (1 + V-3)], q3 =[1, 1,1].1 = [1,-4-
第一章基本概念它们对应了Yo上的三个A2型有理奇点Q1,Q2,Q3.考虑它们的极小解消p：Y→Yo，例外集p-1(Q）=D;+E是两条（-2)-曲线组成的链。另一方面，C有三个奇点P1 =[0,0,1],P2=[1,0,0], P3=[0,1,0]它们都映到Y上一点P.过p中两点的直线共有三条，它们也都映到Y中的曲线C.C2=3且有唯一结点PC自然诱导了Yo上的叶状结构Fo，拉回到Y上，则得叶状结构F，称之为非常特殊叶状结构（Veryspecialfoliation)。根据[Per05]的计算结果，非常叶状结构双有理于平面上的如下二次叶状结构w =Xi(XoX1+XX2-2X2)dXo +Xo(2XiX2-X2-XoX)dXi+3XiXo(X2-X1)dX2. (1-8)群作用诱导的三次覆盖双有理于如下三次有理映射Φ: P2 --+ P2,[L, LoLiL2, L2]这里L;=Xo+>X1+入-X2,^=-1+V-3例1.2.7(Kronecker叶状结构）设X=C2/^是Abel曲面.此时Tx=2xOxOx因此存在两个整体的全纯切向量场U1，U2，它们处处线性无关.任何整体全纯切向量场都可以写成c1u1+C22（c;EC).这样的叶状结构也可以看成由C2上具有相同斜率的直线诱导（取适当的U1,2可使=）当0是有理数时，这些直线在X上的像是椭圆曲线，因而F由椭圆纤维丛诱导，当θ不是有理数时，这些直线的投影像不是X上的紧曲线，而且在X中是稠密的.此.时F被称为Kronecker叶状结构，例1.2.8(Lins Neto叶状结构[Mov15])设F（>EPl）是P2上的叶状结构，由如下微分场得到w)=(X-X2)(x-XiX2)dXo+(2-X)(x?-XoX2)dXi+(x-X)(ax2-XoXi)dXo■这是4次叶状结构例1.2.9（Jouanolou叶状结构[MoVio9]）设F是P2上由如下微分场w=(XiXg-X2+1)dXo+(X2Xd-Xg)dXi+(XoX2-X*)dX2生成的d次叶状结构.考虑循环群G=gkk=0.1.....d2+d)（这里9是d2+d+1次本原单位根）在P2上的群作用g : P2 P2, [Xo, Xi, X2] -→[Xo,gd+1X1,gX2]这个群作用下的不动点恰好是p1=[1,0,0],p2=[0,1,0],p3=[0,0,1]因为g*w=g+1w,所以F在G作用下不变，它的奇点集是Sing(F) = {[1, g", g-dk]k = 0, .., d2 + d].1G可迁地作用在该奇点集上-5-
第一章基本概念1.3不变曲线定义1.3.1设F是叶状结构，C是不可约曲线.如果对任一点PEC,F在P处的向量恰好与C相切，我们就称C是F-不变的(F-invariant).F在一点p处的分界线(Separatrix）是指p的某小邻域内的全纯定义的不可约曲线C（允许奇异)，使得C经过p且是F-不变的若有无数条分界线通过p，我们就称p是多临界点(Dicritical singularity).利用局部表示（1-1）和（1-4)，我们也可以给出F_不变曲线的其他描述命题1.3.1设是不可约曲线，以下条件彼此等价：(1)C是F不变的.(2)设 fα=0 是 C 在 U。上的局部方程,它满足 fa/ Ua(fα).(3）fα是微分方程wα=0的解.(4）存在全纯函数ga,ha及全纯1-形式nα，满足gcd(ha,fa）=gcd(gα,fa）=1以及(1-9)gawa=hadfa+ fala.(5）df^wa=faa，这里是全纯2-形式证明(1)一→2)我们只需要证明，对一般点pEC,都有of1af+ B(p)= 0.A(p)aralayalp设C的p=(0,0)处的局部参数方程Ta=ta(t),Ya=ya(t)于是C在p=(rα(t),ya(t)处的切方向为(r(t),ya(t).因此(1-10)A/c%(t) = B/yc(t)再结合0= (a(0(0) =(0%()+(0%(.(1-11)(taoya即得所需.(2）一→(3）此时已知afafA(aa(t), Ya(t))(t)+B(ra(t), ya(t)(t) 三 0.(1-12)Oaoaya结合式(1-11)可得式(1-10)由此推出dyadra=0A(ra(t),ya(t)(1-13)B(ra(t),Ya(t))dtdt即f是微分方程wα=0的解.-6-
第一章基本概念(3)→ (4)设Aa+BaWafa此时已知式(1-13)成立，因而结合式（1-11)可知式（1-12)成立，即wa是全纯的。令[ ga = ua - kal.ha=-UaAa-kaBana=wa(uadaa+kadya),这里ua,ka是全纯函数取适当的ua,ka，可使gcd(ha,fa）=gcd(ga,fa）=1.(4)→(5)此时dfa^wa=fag.注意到左边是全纯的，gcd(fa,ga）=1,因而ia：=e是全纯2-形式.(5) → (1)对 p= (0, 0) C, w(p) ^dflp= f(p)= 0, 因此 B(p)/器l,= -A(p)/lp, 由■式(1-11)，可知C在p=(0,0)处的切向量(a(0),y(0))与A是+B%方向一致，例1.3.1(1)w=ydr-ardy（相应地，u=r+y）在p=(0,0)处的分界线有无数条，它们定义为f(a,y)=y-入r=o(Pl).此时(f)=f.(2)w=2ydr-3rdy（相应地，u=3a量+2y最）在p=（0,0）处也有无数条分界线，它们定义为 f(α,y):= a?-入y3 = 0 (>E Pl). 此时 (f) = 6f.(3)w=nyda+mady（n,m是正整数）仅有两条分界线过p=(0,0)，即r=0及y=0..例1.3.2在例1.2.2中，无穷远直线Lo=[Xo=0)是F-不变当且仅当R=0.例1.3.3设m,n是正整数.考虑1次平面叶状结构F：-(n+m)XiX2dXo+nXoX2dXi+mXoXidX2=0.所有的F-不变曲线可表为Xrxm-axn+m=o,AePl.其中包含三条F-不变的直线X,=0（i=0,1,2)例1.3.4（非常特殊叶状结构的不变曲线）在例1.2.6的记号下，DE，和C都是F-不变曲线.除此之外，没有其他F-不变曲线（因为C仅有三条直线是F-不变的).此外，P是F在C上唯一的奇点，如果我们采用表达式（1-8)，那么F在P2上的不变曲线仅有直线X=0与Z=0,以及三次曲线F=0,这里F:=XZ2+X?Z+y3-3XYZ.-由计算可知，在仿射坐标下，w^df=f(6-3y)da^dy，这里f(r,y)=F(r,y,1)例1.3.5（叶状结构的拉回）设F是X上的叶状结构，π：Y一→X是一般有限态射.设w是F对应的微分场，那么元*给出了Y上的叶状结构9，通常记为元*F，现在我们分析元*F的典范丛和法丛，设C是分歧轨迹，我们取一般点PEC.考虑p附近的小邻域U，不妨设C的局部方程为=0.-7-