第二章叶状结构的奇点因此B-tAA-SBm(pi) :7ya=1= -(B*,9)s=0 -(A, a)st0 + m(p) - n2= -(B', y)s=0 +(A',y)s=0 - n+ m(p) - n2= - deg, B(0,s) + degs A(0, s) + m(p)- n2 - n= m(p)-n?-n+1= m(p) - I(p)2 + I(p) + 1.至此，我们完成了证明-存在有限步的爆发α：X→X，使得叶状结构的拉回F的所有奇点p都满足推论 2.2.1I(p) = 1.证明由VandenEssen重数公式，当l(p)≥2时，总有严格的不等式m(pi)<m(p).因此■我们可以做有限步爆发，使得所有奇点p都满足l(p）=1.下面我们考察1(p)=1的奇点.设aaDua(p)= (axa+ bya)+(caa + dya)araaya是uα=A+B在奇点p处的线性部分，因为(p)=1,所以Du(p)非零.它对应矩阵ahM&:M有两个特征值入1a，入2α.在坐标转换中，Mα=9a3M3，因而入iα=93入i3.如果两个特征值不全为零（比如入2α≠0)，我们令入=，那么上面的转换关系蕴含着入α=入g，即比值入α不依赖于坐标的选取此时，通过选取合适的坐标，Du。局部上可以写成0a+AayayaDua=TaDra或aa(α = 1),Dua=(ra+hay)+yaayaOra这里ho是非零常数如果入1=20=0，那么Da=0或者Da=Ya%定义2.2.1如果F在奇点P处的特征值不全为零，并且其比值入不是正有理数，那么我们称p是既约奇点（Reducedsingularity）或简单奇点（Simplesingularity).如果入≠O，则称p是非退化的；否则称其为鞍-结点(Saddle-node)今后为方便起见，该比值入也称为F在p处的特征值（Eigenvalue)例2.2.2（既约奇点分类）设P是既约奇点.由定义，入不是正有理数-13-
第二章叶状结构的奇点(1）（Poincaré区域）假设特征值入R-U[0)（我们把满足这类条件的数构成的集合称为庞加莱区域）.由庞加莱线性化定理，在选取合适的坐标后，F对应的切向量场局部可写为a0(2-4)"%+等价地，其1-形式可写为入yda一rdy.F恰有两条分界线=0及y=0.在例2.2.1中，我们已经讨论了它的奇点解消，此处不再赞述(2）（Siegel区域）假设特征值入是负实数（我们把负实数集合称为西格尔区域).在适当的坐标选取下，仍然精确地有两条分界线=0及9=0.一般说来，这类情形下未必能通过坐标变换将切向量场写成形如（2-4)的形式(3）（鞍-结点）此时切向量场可写为Dulac形式(+a+(a)+%,0Qy这里aEC，k是正整数，F是在p=(O,O)处的零点阶数为k的局部全纯函数。它的重数为k+1.爆发一次后，例外曲线上有两个奇点po,Po满足m(po)=1,m(p）=k+1.它有一条分界线y=0，称为强分界线(Strong separatrix)。一般说来，未必存在另一条与之横截相交的分界线.若有这样的分界线，则称之为弱分界线（Weakseparatrix)，对既约奇点来说，所有的分界线的并在局部小邻域内都是正规交曲线，因而解消中出现的例■外曲线都是F-不变的。它们在解消后奇点仍然是既约的.注2.2.1关于既约奇点表达式如何线性化的讨论可以参看[Mov15]例2.2.3（非既约奇点分类）设p是叶状结构F的非既约奇点，我们分几类情形讨论(1）入EQ+但入，均不是正整数，此时由庞加莱线性化定理，通过选取合适的坐标，叶状结构的切向量场可以局部写为0a入=">1, nmez+.=na+mym对奇点p爆发一次，在例外曲线E上恰有两奇点po,pα（分别对应E上的坐标点t：0,oo).Po对应切向量场aao=n-(n-m)tot其特征值入o=m=n<0,因而属于西格尔区域.这表明po是既约奇点P对应切向量场a0￥1(2-5)0α= (n-m)sos+moyS=X其特征值入=n=m>0.(2）入，至少有一个是正整数．为方便起见，不妨设入=n是正整数，此时由庞加莱-Dulac规范型定理，对应的切向量场局部可表为0+(ny +er")V=TOrE= 0,1.ay-14-
第二章叶状结构的奇点当ε=0时，p爆发一次后的例外曲线上有两个奇点po,Po，分别对应切向量场aaaio = (n-1)t-+(n-1)ss1+，=-%当e=1时，po,P分别对应切向量场（注意，当n=1时，po不再是奇点)0+ (n - 1)t+ an-1)%io = -(ny +g"s")+(n - 1)s+ yn-1gn+1)%00=1OtOrOsd在这两种情形中，Po都是既约奇点.(3）线性部分Du非零且对应幂零阵.不妨设%+B%=(y+A)+B这里A'最低次项次数n≥2，B有m≥2重奇点.爆发一次后，拉回的叶状结构在例外曲线上对应切向量场00=a(t+rn-1A)+(am-1B-t(t+an-1A)(2-6)atdr这里A=rn-1A,B=am-1B.此时例外曲线上仅有一个奇点po（在t=0处)，其阶数为1或2.(4）线性部分D为零.此时1(p)≥2.利用推论2.2.1，经过有限步爆发后，可以归结到既约奇■点或者以上几类非既约奇点定理2.2.1(Seidenberg解消定理[Sei68]对叶状结构F的任何奇点P，存在一系列爆发的复合α：X→X，使得F：=α*F在例外集α-1(p）上至多只有既约奇点.证明由推论2.2.1，我们只需要讨论1(p）=1的奇点，假如p已经是既约奇点，则结论已成立，以下均假设p不是既约奇点.我们按照例2.2.3的分类来讨论，并沿用其中的诸记号，先考察p满足例2.2.3（1）的情形此时poo（见式(2-5)）任满足例2.2.3（1)，而剩余的奇点Po已经是既约的.我们再对p做爆发，以此类推，最终得到唯一的非既约奇点p（其余的奇点均为既约的)，对应切向量场aa=+此时m(p）=a(p）=1,l(p）=2.因而由VandenEssen重数公式可知，爆发p后，例外曲线上无奇点这表明p经过有限步解消后，所有奇点均变成既约奇点。其次讨论p满足例2.2.3(2)的情形.此时如果e=0，则类似上面的解消，最终可变为既约奇点：如果=1，我们最终可以通过解消得到唯一的非既约奇点（即n=1情形），对应切向量场a0+r+y)Tardy由例2.2.3（2)的讨论，它在爆发后仅得到既约奇点最后考虑p满足例2.2.3（3）的情形若po（见式(2-6)）的阶数为1.此时po仍满足例2.2.3(3)的情形.爆发po后得到唯一的奇点p1(阶数为2).再爆发p1，得到三个既约奇点今假设po的阶数为2.则爆发po后得到2或3个奇点.结合l(p)=1,l(po）=2及VandenEssen重数公式，这些奇点的重数之和等于m(po)-1=m(p).因而每个奇点的重数都严格小于m(p).对这类奇点继续爆发，有限步后最终可以让这类情形不再出现.-15-
第二章叶状结构的奇点注2.2.2是F的多临界点等价于它的奇点解消中包含一条非F-不变的例外曲线一例2.2.4(Riccati叶状结构的奇点）在例1.2.4的记号与假设下，我们分情形讨论Riccati叶状结构的奇点。回顾式(1-7)w = (a(2)w2 +b(z)w + zc(2)dz+ zd(z)dw,情形1.（非退化纤维)d(0)≠0,b(0)≠0.此时F在F上有两个奇点p1,P2,对应非零特征值(1,入)与(1,-入),这里入≠0.不妨设p2=(0,00).若入Z，那么每个奇点处都有与F横截相交的分界线，由坐标变换（将分界线变成坐标轴），最终可得标准型w = wdz- zdw.此时w=0.o对应两条分界线.此外，请读者注意，由于F是过这两个奇点的分界线，故若奇点是满足例2.2.3(2)的庞加莱-Dulac模型，则入-1Z（若不然，F将不再是分界线)若入EZ,我们可设p2处的特征值为负整数，那么由奇点分类结果，它有横截的分界线.P1则未必有横截的分界线.由坐标变换，最终可得标准型w=(nw+ez")dz-zdw, e=0,1.情形2.（非退化纤维)d(0）≠0,b(0)=0.此时F仅有一个鞍-结点pi=(0,0)，它有一条强分界线与F横截相交，而F是弱分界线.由坐标变换，可得标准型w=wdz-zdw如果将奇点移到p2=80处，也可以将标准型写为w=dz-zdw情形3.（半退化纤维）d(O)=0.b(0)≠0.此时有F在F上有两个鞍-结点：它们都以F为强分界线，假若每个奇点都有弱分界线，那么由[MaRa82]的结果，可得标准型w=w(1+vz)dz-2h+1dw这里VEC，k是正整数.更一般的情形，可参看[MaRa82]情形4.（幂零纤维）d(O)=b(0)=0.此时F在F上仅有一个非既约奇点.当c(O)=0时F对应的切向量场的线性部分为零：c(0）≠0时，则其线性部分是幂零的利用直纹面的双有理变换（即爆发纤维上一点，然后收缩原始纤维的严格原像），我们可以把情形(1)中入EZ的叶状结构（nw+z")dz-zdw变为情形(2)的叶状结构；将nwdz-zdw变■为dw=0（即F与该纤维横截相交)例2.2.5（非常特殊叶状结构的奇点）在例1.2.6和1.3.4的记号与假设下，PEC是非退化既约奇点，具有特征值入=(1+V-3)（见定义2.2.1).如果我们采用表达式（1-8)，那么F在P2上有五个奇点Q0 =[1,0,0],91 =[0, 1, 0],q2=[0,0, 1],q3=[0,2,1],q4 =[1,1,1]F-不变的三次曲线F=0（见例1.3.4)经过Q0,91,Q4，并且在qo（相应地，Q1处与F-不变直线X=0（相应地，Z=0)相切，相交数为3.Q2（相应地，93）是既约奇点，其特征值入=-（相应-16-
第二章叶状结构的奇点地，入=—号).91,90是多临界点(1(q1)=(qo）=1)91爆发一次后,在F-例外曲线E1上有既约奇点95（特征值入=-)和多临界点q6(1(g6)=1).爆发Q6后得到F-例外曲线E2，其中Q7=E1nE2是既约奇点（特征值入=-)，另有多临界点q8（1(q8）=2).爆发q8后，例外曲线上不再有奇点qo爆发一次后，在F-例外曲线E3上有唯一奇点g9（1(q9）=2)。爆发q9得到F-例外曲线E4，其中有910=E3nE4是特征值为-的既约奇点以及特征值为-号的既约奇点q11，另有多.临界点912((q12=2).爆发912后，不再有其他奇点，例2.2.6（LinsNeto叶状结构的奇点）我们采用例1.3.6的记号与假设(1）先考虑>3≠1,oo的情形．此时所有的交点pij,qk均为放射型多临界点(Diciriticalradialtype)-即代数重数为1且一次爆发后的例外曲线不是F-不变的具体地说，它对应的局部切场的线性部分形如Du=最+y最F另外还有9个奇点：ro(>) =[,wk,w2k], r1k =[1, 入wh,w2k], r2h =[1,wh, Aw2k] (k = 0, 1,2).它们都是Siegle区域的奇点，对应的局部切场的线性部分为Du=3c最+（2入a-y)%(2)对于入E[1,,w2,α)的情形.由例1.3.6的讨论，F的不变曲线实际上来自于一个三次曲线束，它包含三条奇异纤维，每一条都是由过P中某个点的三条直线构成：这个曲线束有9-个基点，它们恰好是其余P,（ik)中的九个交点.2.3相切指标现在我们考虑曲线C，其每个分支都不是F-不变的.此时可以定义C在pEU处的相切指标 (Index of tangency)Oxptang(F,C,p) = dimc (fa,va(fa)这里fα=0是C在U&中的局部方程.tang(F,C,p)主要反映C与F在p处的相切情况。特别地，tang(F,C,p)=0当且仅当F与C在p处横截相交（习题6.5)。因此我们整体上可定义tang(F,C) = tang(F,C,p).PEC命题2.3.1假设曲线C的每个分支都不是F-不变的.那么NrC =x(C) +tang(F,C)KFC =-C·C+ tang(F,C)这里x(C) := 2x(Oc) = 2 - 2pa(C) = -KxC - C2是（算术）欧拉示性数（ArithmeticEulercharacteristic)证明由式（1-3)，我们只需要证明第二个式子即可.首先，从tang(F,C,p）的定义可知tang(F, C, p) = ord,va(fa)lc.- 17-