四、二元函数的连续性第六章多元函数微分学3-/x?+y?+9例10求极限limx→0x? + y?J-0解当x→0,y→0时，x+y→0，故lim/x?+y2+9=/limx+y2+9=lim(x+y)+lim9=V0+9=3.x-0x>0Vimox->0Vy-0J-→0J-→012-3- /x? + y? +9所以limlimx+yx→0x-→03+1/x+y~+9-+1y-→0J->0=-lim6383+++931D
31 第六章 多元函数微分学 例 10 求极限 2 2 2 2 0 0 3 9 lim x y x y → x y → − + + + . 解 当 x y → → 0, 0 时， 2 2 x y + → 0，故 所以 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 3 9 3 9 3 9 lim lim 3 9 x x y y x y x y x y x y x y x y → → → → − + + + + + − + + = + + + + + 0 2 2 0 1 1 lim x 3 9 6 y x y → → = = + + + . 四､二元函数的连续性
四、二元函数的连续性第六章多元函数微分学另外，对于函数xy(x, y)+(0, 0),f(x,y)=rx?+y0,(x, y) =(0,0),由例5可知，当x→0,y→0时，f(x,y)的极限不存在，故(0,0)是f(x,J)的间断点.是初等函数，它在直线y=-x上是没有定义的，所以函又如f(x,x+y数f(x,y)的间断点是平面上的点集((x,y)/x+y=0).32
32 第六章 多元函数微分学 另外，对于函数 2 2 ( , ) (0,0), ( , ) 0, ( , ) (0,0), xy x y f x y x y x y = + = 由例 5 可知，当 x y → → 0, 0 时， f x y ( , )的极限不存在，故 (0,0) 是 f x y ( , )的 间 断点. 又如 1 f x y ( , ) x y = + 是初等函数，它在直线 y x = − 上是没有定义的，所以函 数 f x y ( , )的间断点是平面上的点集{( , ) | 0} x y x y + = . 四､二元函数的连续性
四、二元函数的连续性第六章多元函数微分学与一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质性质1（有界性与最大值最小值定理）若函数f（P）在有界闭区域D上连续，则f（P）在D上必有界，且能取得最大值和最小值性质2（介值定理）若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)必取得介于最大值和最小值之间的任何值33
33 第六章 多元函数微分学 与一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质： 性质 1（有界性与最大值最小值定理）若函数 f P( ) 在有界闭区域 D 上连续， 则 f P( ) 在 D 上必有界，且能取得最大值和最小值. 性质 2 （介值定理）若函数 f P( ) 在有界闭区域 D 上连续，则 f P( ) 必取得 介于最大值和最小值之间的任何值. 四､二元函数的连续性
第六章内容导航第一节多元函数的概念、极限与连续第二节多元函数的偏导数与全微分第三节复合求导、隐函数求导及方向导数第四节多元函数微分学的应用
34 第六章 多元函数微分学 第六章 内容导航 第三节 复合求导、隐函数求导及方向导数 第四节 多元函数微分学的应用 第一节 多元函数的概念、极限与连续 第二节 多元函数的偏导数与全微分
课前导读在一元函数y=f(x)中，如果自变量x产生变化(由x.变为x.+△x），那么函数也会相应的产生一个增量Ay=f(x+△x)-f(x）．而函数关于自变量的变化率，即lim称为函数y对自变量x的导数．在二元函数Ax0Axf(x,y)中，当一个自变量在变化（例如自变量x由x变为+△x），而另一个自变量不变化（自变量V保持定值V），则函数关于这个自变量的变化率叫做这个二元函数对这个自变量的偏导数35
课 前 导 读 一元函数从变化率的研究引入了导数的概念： 35 在一元函数 y f x = ( ) 中，如果自变量 x 产生变化（由 0 x 变为 0 x x + ）， 那么函数也会相应的产生一个增量 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) . 而函数关于自 变量的变化率，即 0 lim x y → x 称为函数 y 对自变量 x 的导数. 在二元函数 f x y ( , )中，当一个自变量在变化（例如自变量 x 由 0 x 变为 0 x x + ），而另 一个自变量不变化（自变量 y 保持定值 0 y ）， 则函数关于这 个自变量的 变化率叫做这个二元函数对这个自变量的偏导数