课前导读对于一元函数来说，若Ay=A△x+o(△x），则称f（x)在x处可微，其中AAx称为微分记作dy=AAx：(x)在x处可微的充要条件是f(x在该点可导，且dy=f'(x)Ax=f'(x)dx那么对于二元函数来说，如何推广微分定义，对应的微分和导数是否能延续这样的关系，这都是这一节我们要解决的问题36
课 前 导 读 一元函数从变化率的研究引入了导数的概念： 36 对于一元函数来说，若 = + y A x o x ( ) ，则称 f x( ) 在 x 处可微， 其中 A x 称为微分，记作 dy A x = . f x( )在 x 处可微的充要条件是 f x( ) 在该点可导，且 d d y f x x f x x = = ( ) ( ) ， 那么对于二元函数来说，如何推广微分定义，对应的微分和导数是 否能延续这样的关系,这都是这一节我们要解决的问题
一、偏导数第六章多元函数微分学一元函数从变化率的研究引入了导数的概念：f(xo +Ax)- f(xo)dyAylimlimFxdxAxAr->0Ar->0Ax它的几何意义是曲线y=f(x)在点(xo,(x))处切线的斜率为k= tanα = f'(x).37
37 第六章 多元函数微分学 一元函数从变化率的研究引入了导数的概念： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 d lim lim d x x x x y y f x x f x f x x x x = → → + − = = = . 它的几何意义是曲线 y f x = ( ) 在 点 ( x f x 0 0 , ( )) 处 切 线 的 斜 率 为 k f x = = tan ( 0 ). 一､偏导数
一、偏导数第六章 多元函数微分学多元函数的自变量不正一入，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多因此我们首先考虑多元函数中关于其中一个变量的变化率以二元函数z=f（x,）为例，若只有自变量x变化，而自变量V不变（暂作常量），这时就可看作为x的一元函数了比如，理想气态方程P=k，其中T、V是两个变量，k是常量（比例系数）：有时需考虑在等温条件下T不变）压缩气体压强P关于体积V的变化率，或在等容条件下（V不变）压缩气体压强P关于温度T的变化率，这些都是偏导数问题38
38 第六章 多元函数微分学 多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多， 因此我们首先考虑多元函数中关于其中一个变量的变化率. 一､偏导数 以二元函数 z f x y = ( , ) 为例，若只有自变量 x 变化，而自变量 y 不变（暂作 常量），这时就可看作为 x 的一元函数了. 比如，理想气态方程 T P k V = ，其中T 、V 是两个变量，k 是常量（比例系 数）. 有时需考虑在等温条件下（T 不变）压缩气体压强 P 关于体积V 的变化率， 或在等容条件下（V 不变）压缩气体压强 P 关于温度T 的变化率，这些都是偏 导数问题
1、偏导数的定义及其计算第六章多元函数微分学定义1设函数z=f(xy)在点(xo,J)的某一邻域内有定义，当固定在yo而x在x.处外有增量Ax时，相应的函数有增量f(xo +Ax, yo)- f(xo, yo) f(x+Ax,)-f(xo,J)存在，则称此极限为函数≥=f(x,J)在点如果limAxAx->0(x,y)处对x的偏导数，记为azafx=或f(xo,yo)axOx x=xox=xoy=yoy=yoy=yof(xo +Ax, yo)- f(xo,yo)例如，f.(xo, yo) = limAxAr→039J
39 第六章 多元函数微分学 定义 1 设函数 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义, 当 y 固定在 0 y , 而 x 在 0 x 处有增量x时, 相应的函数有增量 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) + − . 如 果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存 在, 则称此极限为函数 z = f (x, y) 在 点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数, 记 为 0 0 0 0 0 0 , , x x x x x x x y y y y y y z f z x x = = = = = = 或 0 0 ( , ) x f x y . 1､偏导数的定义及其计算 例如， 0 0 ( , ) x f x y 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y → x + − =
1、偏导数的定义及其计算第六章 多元函数微分学类似地，函数z=f(x,y)在点(xo,yo)处对y的偏导数为f(xo,yo+Ay)- f(xo,yo)limAyAy-→0记为Ozaf或f,(xo,yo).oyayy=oX=Xo=Xoy=yoy=yo二元函数偏导数的定义可以类推到三元及三元以上的函数40?K
40 第六章 多元函数微分学 类似地，函数 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数为 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y → y + − , 记为 0 0 0 0 0 0 , , y x x x x x x y y y y y y z f z y y = = = = = = 或 0 0 ( , ) y f x y . 1､偏导数的定义及其计算 二元函数偏导数的定义可以类推到三元及三元以上的函数