三、二元函数的极限第六章多元函数微分学注只有当P(x,y)以任何的方式无限接近点P(xo.y)时，对应的函数值z=f(x,y)无限的接近于确定的常数A，才能说f(xy)有极限，或者说极限的存在与自变量趋近的路径无关反之，如果点P(x,y)沿着两条不同的路径趋于P.(xo.yo）时，函数值趋于不同的常数，那么函数的极限肯定不存在21
21 第六章 多元函数微分学 注 只有当 P x y ( , )以任何的方式无限接近点 0 0 0 P x y ( , ) 时，对应的函数值 z f x y = ( , )无限的接近于确定的常数 A ，才能说 f x y ( , ) 有极限, 或者说极限的存 在与自变量趋近的路径无关. 三､二元函数的极限 反之，如果点 P x y ( , ) 沿着两条不同的路径趋于 0 0 0 P x y ( , ) 时，函数值趋于不同 的常数，那么函数的极限肯定不存在
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学中xy例5证明lim不存在x->0x+VJ-0证取y=kx(k为常数)，则kx-kxXylimlim21+k2+Vx+(kx)?x-0XX->01-0y=kx-→0易见函数极限的值随k的变化而变化当k=0时，极限值为0；当k=1时极限值为故极限不存在二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述，为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限220O
22 第六章 多元函数微分学 例 5 证明 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 不存在. 证 取 y kx k = ( 为常数)，则 易见函数极限的值随k 的变化而变化. 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详 述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 三､二元函数的极限 当k = 0时， 极限值为 0； 当k =1时极限值为 1 2 ， 故极限不存在
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学例6求极限lim(x2+y2)sinx->0x+y-0解令u=x?+y?，当x→0,y→0时，u→0，则二元函数的二重积分就转化为一元函数的极限问题lim(x=0-limusin-+)sinx-0x+y2u>0uJ-0这里利用了一元函数极限中，无穷小和有界量的乘积是无穷小的性质23
23 第六章 多元函数微分学 例 6 求极限 2 2 2 2 0 0 1 lim ( )sin x y x y y x + + → → . 解 令 , 2 2 u = x + y 这里利用了一元函数极限中，无穷小和有界量的乘积是无穷小的性质. 三､二元函数的极限 当 x y → → 0, 0 时， u →0， 则二元函数的二重积分就转化为一元函数的极限问题
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学1-cos(x2 + )例7求极限lim(x,y)→(0,0)x? + y?1-cos1limlim解2(x,y)-(0,0)(x,y)-(0,0)x13这里利用了一元函数极限中，等价无穷小替换的性质24
24 第六章 多元函数微分学 例 7 求极限( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 0,0 2 2 1 cos lim x y x y x y → − + + . 这里利用了一元函数极限中，等价无穷小替换的性质. 三､二元函数的极限
四、二元函数的连续性第六章 多元函数微分学定义3设二元函数z=f(x,y)在点(xo.y)的某一邻域内有定义，（x,y)是邻域内任意一点，如果lim f(x,y)= f(xo,yo),X->xoy-yo则称z=f(x,J)在点(xo,)处连续。若不然，就称函数z=f(x,y)在点(xo,y)处不连续，此时(xo,yo)称为函数z=f(x,y)的间断点设函数z=f(x,y)在D上有定义，且在D上每一点f(x,y)都连续，那么就称函数f(xy)在D上连续，或称f(xy)是D上的连续函数25
25 第六章 多元函数微分学 定义 3 设二元函数 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，( , ) x y 是 邻 域内任意一点，如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → , 则称 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处连续. 设函数 z = f (x, y)在 D 上有定义，且在 D 上每一点𝑓 𝑥, 𝑦 都连续，那么就称 函数𝑓 𝑥, 𝑦 在 D 上连续，或称𝑓 𝑥, 𝑦 是 D 上的连续函数. 四､二元函数的连续性 若不然，就称函数 z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 处 不连续，此时( , ) 0 0 x y 称为函数 z = f (x, y)的间断点