二、二元函数的概念第六章多元函数微分学设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的P(x,y)D，对应的函数值为z=f(x,y），这样以x为横坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,2）当x取遍D上一切点时,得一个空间点集((x,y,z)/z=f(x,y),(x,)eD),这个点集称为二元函数的图形16
16 第六章 多元函数微分学 设函数 z = f (x, y)的定义域为D ， 二､二元函数的概念 对于任意取定的 P(x, y) D，对应的函数值为 z = f (x, y) ， 这样，以 x为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点 M (x, y,z) ， 当 x取遍 D 上一切点时，得一个空间点集{( , , ) | ( , ), ( , ) } x y z z f x y x y D = ，这 个点集称为二元函数的图形
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学二元函数的图形是一张曲面例如z=3x?+4v2就是一个椭圆抛物面2+V的图形为旋转抛物面一?的图形为上半球面等类似地，可定义三元及三元以上函数.当n≥2时，n元函数统称为多元函数17
17 第六章 多元函数微分学 二元函数的图形是一张曲面， 类似地，可定义三元及三元以上函数. 当n 2时, n元函数统称为多元函数. 二､二元函数的概念 例如 2 2 z x y = + 3 4 就是一个椭圆抛物面 2 2 z x y = + 的图形为旋转抛物面， 2 2 z a x y = − − 的图形为上半球面等
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学我们先回顾一下，一元函数极限的定义设函数f（x)在点α的某一个去心邻域内有定义（即点α可以除外），若V>0，3S>0，当0<x-α<时，恒有f(x)-A<，则limf(x)=A.这里α是数轴上的定点，x是数轴上的动点，x-α表示点x与α的距离.而0<|x-a<8表示/xxe(a-8,a)(a,a+8))类似地，可建立二元函数的极限18
18 第六章 多元函数微分学 我们先回顾一下，一元函数极限的定义. 设函数 f x( ) 在 点 a 的某一个去心邻域内有定义（即点 a 可以除外），若 0， 0，当 0 − x a 时，恒有 f x A ( ) − ，则lim ( ) x a f x A → = . 这 里 a 是数轴上的定点， x 是数轴上的动点， x a − 表示点 x 与 a 的距离.而 0 − x a 表示x x a a a a − + ( , , ) ( ). 类似地，可建立二元函数的极限. 三､二元函数的极限
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学z=f(x,y)定义 2 设函数z=f(x,y)的定义域为 D，P(xo,)是xOy平面内的定点（见图6-7）：若存在常数A，V>0,3S>0,当点P(x,y)DnU(P,)时,恒有f(P)-A=f(x,y)-A<8 ,图6-7则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x,)时的极限，记作limm)f(x,J)=A或f(x,y)→A, (x,y)→(xo,o)(x,y)-(xo, Jo也可记作lim f(P)= A或f(P)→A, P→P19
19 第六章 多元函数微分学 定义 2 设函数 z = f (x, y)的定义域为 D ， P x y 0 0 0 ( , ) 是 xOy 平面内的定点（见图 6-7）. f P A f x y A ( ) − = − ( , ) ， 则称常数 A 为函数 f x y ( , )当( x y x y , , ) →( 0 0 )时的极限，记作 ( ) ( ) ( ) 0 0 , , lim , x y x y f x y A → = 或 f x y A ( , ) → ，( x y x y , , ) →( 0 0 ). 也可记作 ( ) 0 lim P P f P A → = 或 f P A ( ) → ， P P → 0 . P M D y x O z z=f (x,y) 图6-7 三､二元函数的极限 若存在常数 A ， 0 ， 0，当点 ( , , ) ( 0 ) o P x y D U P 时，恒有 0 A
三、二元函数的极限第六章多元函数微分学例4证明lim0(r,)-(0,0) x2 + y证Vs>0，要使f(x,y)取=,当 0(x-0)2+(-0)28时恒有(x,)-A,故lim:0(x,y)-(0,0) x2 + y20
20 第六章 多元函数微分学 例 4 证明 ( ) ( ) 2 2 2 , 0,0 lim 0 x y x y → x y = + . 证 0， 取 = ， 要使 三､二元函数的极限 当 0< (𝑥 − 0) 2 + (𝑦 − 0) 2 < 𝛿时 ， 故 ( ) ( ) 2 2 2 , 0,0 lim 0 x y x y → x y = + . 恒有 f x y A ( , ) −