二、二元函数的概念第六章多元函数微分学与一元函数一样，二元函数的定义域也可作以下约定：在一般的讨论用算式表达的多元函数，就是使这个算式有意义的自变量的变化范围如二元函数z=f(x,），就是使这个算式f(x,y)有确定值z的自变量x、y的变化范围所确定的点集11
11 二､二元函数的概念 第六章 多元函数微分学 如二元函数 z f x y = ( , )，就是使这个算式 f x y ( , )有确定值 z 的自变量 x、 y 的变化范围所确定的点集. 与一元函数一样，二元函数的定义域也可作以下约定：在一般的讨论用算式 表达的多元函数，就是使这个算式有意义的自变量的变化范围
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学比如，函数z=ln(x+y)的定义域是满足不等式x+y>0的点的全体，它是个点集: D=((x,y)|x+y>0) ;函数z=arcsin(x2+)的定义域为D=(x,)x2+y≤1)12
12 第六章 多元函数微分学 比如， 函数 z x y = + ln( ) 的定义域是满足不等式 x y + 0的点的全体，它是 一个点集： D x y x y = + ( , 0 ) ； 函数 ( ) 2 2 z x y = + arcsin 的定义域为 ( ) 2 2 D x y x y = + , 1 ； 二､二元函数的概念
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学例1求二元函数f(x,y)=/3-x2-y2的定义域解根据二次根式的定义，x,y必须满足不等式3-x2-y≥0，即x? +y? ≤3.所求的函数 f(x,J)=/3-x2-y2的定义域为平面点集D=((x,y)/x2 +y2≤3)这是平面上圆心在原点，半径为的圆13
13 第六章 多元函数微分学 例 1 求二元函数 2 2 f x y x y ( , ) 3 = − − 的定义域. 解 根据二次根式的定义， x y, 必须满足不等式 2 2 3 0 − − x y ，即 2 2 x y + 3 . 所求的函数 2 2 f x y x y ( , ) 3 = − − 的定义域为平面点集 2 2 D x y x y = + {( , ) | 3}. 这是平面上圆心在原点，半径为 3 的圆. 二､二元函数的概念
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学例2求函数z=ln(x2+y2-2x)+ln(4-x2-y2)的定义域x2+y2-2x>0解由对数的定义域可知，x，必须同时满足解这个方程组4-x2-2>0,即得2x<x2+<4 ，从而函数的定义域为 D=(x,)|2x<x2+2<4)144
14 第六章 多元函数微分学 例 2 求函数 ( ) ( ) 2 2 2 2 z x y x x y = + − + − − ln 2 ln 4 的定义域 解 由对数的定义域可知，x y, 必须同时满足 2 2 2 2 2 0, 4 0, x y x x y + − − − 解这个方程组， 即得 2 2 2 4 x x y + ，从而函数的定义域为 ( ) 2 2 D x y x x y = + , 2 4 . 二､二元函数的概念
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学1例3 已知函数f(x+y,x-y):求f(x,y)的表达式，并求f(2,1)的值解设u=x+y，v=x-y，则u+yu-yX22u+yu-1222uv故得f(u,v)u+2.22xy即有f(x,y)?+4从而f(2,1) =15O5
15 第六章 多元函数微分学 例 3 已知函数 2 2 2 2 ( , ) x y f x y x y x y − + − = + ， 求 f x y ( , )的表达式，并求 f (2,1) 的值. 解 设u x y = + ， 2 u v x + = ， 故得 f u v ( , ) 即有 2 2 2 ( , ) xy f x y x y = + , 从而 4 (2,1) 5 f = . 二､二元函数的概念 v x y = − ， 则 2 u v y − = ， 2 2 2 2 2 2 2 2 u v u v u v u v + − − = + − + 2 2 2uv u v = +