2、区域的概念第六章多元函数微分学设D是平面区域，P是平面上的任意一点.若P的任何的一个邻域中，既含有D中的点,也有不是D中的点那么P称为D的边界点（见图6-4），所有边界点的集合称为D的边界．区域和它的边界一起构成的集合，称为闭区域区域（或闭区域）分为有界区域和无界区域一个区域D如果能够包含在一个原点为中心的圆内，则称为有界的，否则就是无界区域D图6-46
6 第六章 多元函数微分学 区域（或闭区域）分为有界区域和无界区域. 一个区域 D 如果能够包含在一个原点为中心的圆内， 则称为有界的，否则就是无界区域. 设 D 是平面区域，P 是平面上的任意一点. 若 P 的任何的一个邻域中,既含有 D 中的点,也有不是 D 中的点,那么 P 称为 D 的边界点（见图 6-4）, 图6-4 2､区域的概念 P D 所有边界 点的集合称为 D 的边界. 区域和它的边界一起构成的集合，称为闭区域
2、区域的概念第六章 多元函数微分学如图6-5，平面点集D=(x,)/1≤x2+y≤4是一个有界的闭区域，边界是两个圆所对应的曲线：(x,y)x2+y2=1)U((x,y)/x2+y2=4)，边界曲线属于闭区域D.图6-6所表示的平面点集D=（(x,y)/x+y>0)是无界（开）区域.边界是直线V=-x，边界不属于区域D图6-5图6-6
7 第六章 多元函数微分学 如图 6-5, 图 6-6 所表示的平面点集 D x y x y = + {( , ) | 0}是无界（开）区域. 边界是直 线 y x = − ，边界不属于区域 D . 图6-5 图6-6 2､区域的概念 O y x O y x 平面点集 2 2 D x y x y = + {( , ) |1 4} 是一个有界的闭区域, 边界是 两个圆所对应的曲线： 2 2 2 2 {( , ) | 1} {( , ) | 4} x y x y x y x y + = + = ，边界曲线属于闭 区域 D
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学和一元函数一样，二元函数也是从实际问题中抽象出来的一个数学概念，例如，圆柱体的体积V和它的高h及底面半径r之间有如下的关系：V=元r1当r,h在集合((r,h)|r>0,h>O)内取值时,则有唯一的V=元r2h与之对应又例如，一定量的理想气体的压强P，体积V和温度T之间有如下的关系：RT其中R是常数.当T,V在集合(T,V)IT>T,V>O)内取值时，有唯一的RTP:与之对应V上面的两个实际问题说明，在一定的条件下，当两个变量在允许的范围内取值时，另一个变量通过对应的法则有唯一的值与之对应.由此我们得到了以下的8C二元函数的定义
8 第六章 多元函数微分学 和一元函数一样，二元函数也是从实际问题中抽象出来的一个数学概念，例 如，圆柱体的体积V 和它的高 h及底面半径 r 之间有如下的关系： 2 V r h = π ， 当r h, 在集合{( , ) | 0, 0} r h r h 内取值时，则有唯一的 2 V r h = π 与之对应. 又例如，一定量的理想气体的压强 P ，体积V 和温度T 之间有如下的关系： RT P V = , 其 中 R 是常数.当 T V, 在集合 0 {( , ) | , 0} T V T T V 内取值时，有唯一的 RT P V = 与之对应. 上面的两个实际问题说明，在一定的条件下，当两个变量在允许的范围内取 值时，另一个变量通过对应的法则有唯一的值与之对应. 由此我们得到了以下的 二元函数的定义. 二､二元函数的概念
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点（x,y），按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数它在(x,y)处的函数值记为f(x,J），即z=f(x,y），其中x,称为自变量，z称为因变量点集 D称为该函数的定义域，数集(=|z=f(x,J),(x,J)eD)称为该函数的值域
9 第六章 多元函数微分学 定义 1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于 D 内的任一点 (x, y)， 按 照某种法则 f ，都有唯一确定的实数 z 与之对应，则称 f 是 D 上的二元函数， 二､二元函数的概念 它在 (x, y) 处的函数值记为 f (x, y) ，即 z = f (x, y) ，其中 x y, 称 为自变量，z 称 为因变量. 点集 D 称为该函数的定义域，数集 {z | z = f (x, y),(x, y) D} 称为该函数的值 域
二、二元函数的概念第六章多元函数微分学按照定义，在关系式V=元r?h中，V是h,r的二元函数，集合(r,h)lr>0,h>0！称为该元函数的定义域；RT中P是TV的二元函数，集合(TV)IT>T,V>O称为在关系式V该二元函数的定义域10>福
10 第六章 多元函数微分学 按照定义， 二､二元函数的概念 在关系式 2 V r h = π 中，V 是h r, 的二元函数，集合{( , ) | 0, 0} r h r h 称为该 二元函数的定义域； 在关系式 RT P V = 中， P 是T V, 的二元函数，集合 0 {( , ) | , 0} T V T T V 称 为 该二元函数的定义域