53线性代数（同济四版）习题参考答案证明：设(4.8)kib1+k2b2+...+k.br=0,则(4.9)(ki+...+k)ai+(k2+...+k.)a2+...+(k,+...+k,)a+.+k.ar=0.因向量组a1,a2，..，ar线性无关，故ki +k2+...+kr=0,k2 +...+ kr = 0,(4.10)k, = 0.1 10因为=1+0，故方程组（4.10）只有零解。（或者通过回代可直接解得ki=k2=001kr = 0.)即，要使（4.8)成立当且仅当k1=k2=.….=k=0.所以b1，b2，·.，br线性无关这是一个常见的题型，使用的解法也是很典型的.解法同教材P.89例6的证一另证.由题设知向量组b1,b2…，b,可由向量组a1,a2，…，a,线性表示；又ai=b1,a2=b2-bi，ar=b,-br-1,知向量组ai,a2，…·，a,可由向量组bi,b2，，b,线性表示.所以向量组a1,a2，，ar与向量组b1,b2，..，b，等价从而，R(bi, b2,..,b,)= R(a1, a2, .., ar).又a1，a2，，ar线性无关，知R(bi, b2, ...,b,)=R(a1,a2,,ar)=r.所以，b1，b2，·，b，线性无关另证.记矩阵B=(b1b2，…，br)，则B=(b1,b2....,b.)= (a1,a1+a2,...,a1+a2 +...+ar)(ai,a2,...,ar)c2c1从而，R(b1,b2,..,br)=R(a1,a2,...,ar)以下同上一证法，知b1,b2，，b，线性无关13求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：91-22100(1) a1 =a310244-8(2) aT = (1, 2, 1, 3), af = (4, -1, 5, -6), aT = (1, -3, -4, -7)
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 53 证明: 设 k1b1 + k2b2 + · · · + krbr = 0, (4.8) 则 (k1 + · · · + kr)a1 + (k2 + · · · + kr)a2 + · · · + (ki + · · · + kr)ai + · · · + krar = 0. (4.9) 因向量组 a1, a2, · · · , ar 线性无关, 故 k1 + k2 + · · · + kr = 0, k2 + · · · + kr = 0, · · · · · · · · · · · · kr = 0. (4.10) 因为 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 0 1 · · · 1 . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 6= 0, 故方程组 (4.10) 只有零解. (或者通过回代可直接解得 k1 = k2 = · · · = kr = 0.) 即, 要使 (4.8) 成立当且仅当 k1 = k2 = · · · = kr = 0. 所以 b1, b2, · · · , br 线性无关. 这是一个常见的题型, 使用的解法也是很典型的. 解法同教材 P.89 例 6 的证一. 另证. 由题设知向量组 b1, b2, · · · , br 可由向量组 a1, a2, · · · , ar 线性表示; 又 a1 = b1, a2 = b2−b1, · · · , ar = br − br−1, 知向量组 a1, a2, · · · , ar 可由向量组 b1, b2, · · · , br 线性表示. 所以向量组 a1, a2, · · · , ar 与向量组 b1, b2, · · · , br 等价. 从而, R(b1, b2, · · · , br) = R(a1, a2, · · · , ar). 又 a1, a2, · · · , ar 线性无关, 知 R(b1, b2, · · · , br) = R(a1, a2, · · · , ar) = r. 所以, b1, b2, · · · , br 线性无关. 另证. 记矩阵 B = (b1, b2, · · · , br), 则 B =(b1, b2, · · · , br) = (a1, a1 + a2, · · · , a1 + a2 + · · · + ar) cr − cr−1 ^· · · c2 − c1 (a1, a2, · · · , ar), 从而, R(b1, b2, · · · , br) = R(a1, a2, · · · , ar). 以下同上一证法, 知 b1, b2, · · · , br 线性无关. 13 . 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1) a1 = 1 2 −1 4 , a2 = 9 100 10 4 , a3 = −2 −4 2 −8 ; (2) a T 1 = (1, 2, 1, 3), a T 2 = (4, −1, −5, −6), a T 3 = (1, −3, −4, −7)
54第四章向量组的线性相关性解：(1)由910010aTaT知向量组a1,a2,a3秩为2,一组最大线性无关组为a1,a2(或者a2,a3).或者：注意到ai与a3对应坐标成比例，所以a1,a3线性相关.（这就已经告诉我们这个向量组的秩至多为2了）而ai与a2不成比例，两者线性无关，知向量组的秩为2,最大线性无关组为a1,a2（或者a2,a3)。(2) 由2Y113ai23at-180-18-9-9-9-90?-1000as0-5-50知向量组aT，aa的秩为2,最大线性无关组为aT，a14。利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：25311743221153132-175940215(2)(1)5413423759403-1482532201104-125432543253131173117174323012375945313201解: (1)759454134013500312532204801350000所以第1、2、3列构成个最大无关组22211121-1502-102152-10(2)-1301203-2-1-50040-210-102-2010一个最大无关组所以第1、2、3列构成15，设向量组(0(0) (00)的秩为2.求a,b.解：依次记这4个向量为a1,a2,a3,a4，并记此向量组为A.易见a3，a4线性无关（因这两个向量对应坐标不成比例),而已知向量组A的秩为2,所以a3，a4是向量组A的一个最大无关组.则a1，a2可以由向量组a3，a4线性表示。设(0(0)(0)得=0,y=1,从而a=2
54 第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 由 a T 1 a T 2 a T 3 = 1 2 −1 4 9 100 10 4 −2 −4 2 −8 r3 + 2r1 r^2 − 9r1 1 2 −1 4 0 82 19 −32 0 0 0 0 , 知向量组 a1, a2, a3 秩为 2, 一组最大线性无关组为 a1, a2 (或者 a2, a3). 或者: 注意到 a1 与 a3 对应坐标成比例, 所以 a1, a3 线性相关. (这就已经告诉我们这个向量组的秩至多 为 2 了.) 而 a1 与 a2 不成比例, 两者线性无关, 知向量组的秩为 2, 最大线性无关组为 a1, a2 (或者 a2, a3). (2) 由 a T 1 a T 2 a T 3 = 1 2 1 3 4 −1 −5 −6 1 −3 −4 −7 r3 − r1 r^2 − 4r1 1 2 1 3 0 −9 −9 −18 0 −5 −5 −10 ^ 1 2 1 3 0 −9 −9 −18 0 0 0 0 , 知向量组 a T 1 , a T 2 , a T 3 的秩为 2, 最大线性无关组为 a T 1 , a T 2 . 14 . 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组, 并把其余列向量用最大无关组线性表 示: (1) 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 ; (2) 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 2 0 3 −1 3 1 1 0 4 −1 . 解: (1) 25 31 17 43 75 94 53 132 75 94 54 134 25 32 20 48 r2 − 3r1 r^3 − 3r1 r4 − r1 25 31 17 43 0 1 2 3 0 1 3 5 0 1 3 5 r4 − r3 ^r3 − r2 25 31 17 43 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 0 , 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组. (2) 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 2 0 3 −1 3 1 1 0 4 −1 r3 − 2r1 ^r4 − r1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 0 −2 −1 −5 1 0 0 −2 2 −2 r3 + r2 r^3 ↔ r4 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 0 0 −2 2 −2 0 0 0 0 0 , 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组. 15 . 设向量组 a 3 1 , 2 b 3 , 1 2 1 , 2 3 1 的秩为 2, 求 a, b. 解: 依次记这 4 个向量为 a1, a2, a3, a4, 并记此向量组为 A. 易见 a3, a4 线性无关 (因这两个向量对应 坐标不成比例), 而已知向量组 A 的秩为 2, 所以 a3, a4 是向量组 A 的一个最大无关组. 则 a1, a2 可以由向 量组 a3, a4 线性表示. 设 a 3 1 = x 1 2 1 + y 2 3 1 , 得 x = 0, y = 1, 从而 a = 2
55线性代数（同济四版）习题参考答案用同样的方法可以计算得b=516设a1,a2，.…，an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量eie2，…，en能由它们线性表示，证明a1，a2，，an线性无关.证明：不妨设ei=k11ai+k12a2+...+kinane2=k21a1+k22a2+...+k2nanen=knia1+kn2a2+..+knnan即etaTk11k12kin.adetk21k2nk:22........(knieTkn2.knnat两边取行列式，得eTaTki1kink12.eatk21k2nk:22......目kn1eTkn2knnat由eTateTat# 0,=1+0,..eTaT即n维向量组a1a2，..，an所构成矩阵的秩为n.所以a1,a2,．…，an线性无关另证.向量组e1,e2，，en能由向量组a1,a2.，an线性表示，则R(ei, e2,., en)≤R(a1, a2,..., an).(P.86定理3)而R(ei,e2, ...,en)= n, 且 R(ai, a2,..., an)≤n所以R(a1, a2,..., an) = n.得ai,a2，，an线性无关更为简单的说法是：注意a1，a2,.，an当然是可以由单位坐标向量eie2，，en线性表示的，再加上已知条件，知两向量组等价.所以R(ai, a2,..., an)=R(ei, e2,..., en)=n得a1，a2,，an线性无关.17.设ai,a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 55 用同样的方法可以计算得 b = 5. 16 . 设 a1, a2, · · · , an 是一组 n 维向量, 已知 n 维单位坐标向量 e1, e2, · · · , en 能由它们线性表示, 证 明 a1, a2, · · · , an 线性无关. 证明: 不妨设: e1 = k11a1 + k12a2 + · · · + k1nan, e2 = k21a1 + k22a2 + · · · + k2nan, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · en = kn1a1 + kn2a2 + · · · + knnan. 即 e T 1 e T 2 . . . e T n = k11 k12 · · · k1n k21 k22 · · · k2n · · · · · · · · · · · · kn1 kn2 · · · knn a T 1 a T 2 . . . a T n . 两边取行列式, 得 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e T 1 e T 2 . . . e T n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k11 k12 · · · k1n k21 k22 · · · k2n · · · · · · · · · · · · kn1 kn2 · · · knn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a T 1 a T 2 . . . a T n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 由 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e T 1 e T 2 . . . e T n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 6= 0, =⇒ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a T 1 a T 2 . . . a T n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0, 即 n 维向量组 a1, a2, · · · , an 所构成矩阵的秩为 n. 所以 a1, a2, · · · , an 线性无关. 另证. 向量组 e1, e2, · · · , en 能由向量组 a1, a2, · · · , an 线性表示, 则 R(e1, e2, · · · , en) 6 R(a1, a2, · · · , an). (P.86 定理 3) 而 R(e1, e2, · · · , en) = n, 且 R(a1, a2, · · · , an) 6 n, 所以 R(a1, a2, · · · , an) = n. 得 a1, a2, · · · , an 线性无关. 更为简单的说法是: 注意 a1, a2, · · · , an 当然是可以由单位坐标向量 e1, e2, · · · , en 线性表示的, 再加 上已知条件, 知两向量组等价. 所以 R(a1, a2, · · · , an) = R(e1, e2, · · · , en) = n, 得 a1, a2, · · · , an 线性无关. 17 . 设 a1, a2, · · · , an 是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 n 维向量都可由 它们线性表示