定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内 极限 lim f(x+△x,y0)-f(xo,y0) △→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x,o)对x 的偏导数，记为 of 0x(xoo)’0x(0,o)2(ow) fx(xo,yo);(xo-yo). 注意：f(x0,o)=1im f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) Ax→0 △x fco)lx=
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 f(xo.o)=lim f(%o:o+A)-f(xo.Yo) △y-→0 △y 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 ,x,x,川，》 ax’Ox 年，f,c川，x,川 ay'ay
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 同样可定义对y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
本堂 注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续 例如=女、0 0，x2+y2=0 显然 f(0,0)= d ,0,0)=f0y=0=0 在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续！
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, + = + = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
二、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 =f(x,) 8x =，(x,) Oy 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导 数 8x8x &r2 8xay = ax ay yax 8m压以
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y = 若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z ( ) y z x ( ) x z y ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y = 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数. 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z = f (x, y); = xx x y z = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x = x 数:
山东 办方本堂 内容小结 1.偏导数的概念及有关结论 ·定义；记号；几何意义 ·函数在一点偏导数存在一函数在此点连续 ·混合偏导数连续· 与求导顺序无关 2.偏导数的计算方法 先代后求 ·求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义 ·求高阶偏导数的方法一 逐次求导法 (与求导顺序无关时，应选择方便的求导顺序)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义 • 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 • 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 • 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)