例4设z=xf(,),(f具有二阶连续偏导数)， 求0zaz ay'ay2'axey 解 =xf+f=xf+x分， 8y 等=rU+的+Ua+r的 =xfu+2xf+x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4 解 , , . ( , ), ( ) 2 2 2 3 x y z y z y z f x y z x f xy = 求 设 具有二阶连续偏导数 ， ) 1 ( 1 2 3 x x f x f y z = + , 2 2 1 4 = x f + x f ) 1 ) ( 1 ( 2 1 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 x x f x f x x f x f y z = + + + 2 , 12 22 3 11 5 = x f + x f + xf
例4设z=xf(,),(f具有二阶连续偏导数)， 求 0zaz∂z dy'ay2'axdy a:=2=0（xf+xf0 axoy ayax Ox =4f+xf+8(-l+2f +xLy+8-l =4xf+2xf+xyfi-f
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 , , . ( , ), ( ) 2 2 23 x yz yz yz f xy z x f xy = 求 例4 设 具有二阶连续偏导数 ， y xz x yz = 2 2 [ ( )] 4 [ ( )] 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 1 3 xy x f y f xf xy x f x f y f + + − = + + − + ( )2 2 1 4 x f x f x + = 4 2 . 11 22 4 1 2 3 = x f + xf + x yf − yf
2.全微分的定义 如果函数=孔x,y)在点(x,y)的全增量 △2=x+△x,+△y)-x,y) 可表示为△z=A△x+B△y+o(p)(p=V(△x)2+(△)2)， 其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关，则称函数 =x,y)在点(x,y)可微分，而A△x+B△y称为函数=x,y)在 点(x,y)的全微分，记作dz,即 dz=A△x+B△y 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数 在D内可微分
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2.全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数 z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在 点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数 在D内可微分. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o = x + y
由微分定义： lim△2=Iim[(A△x+BAy)+o(p)]=0 △x→0 D→0 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0 = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x + + → → 由微分定义 : 得 z y x → → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即
定理1（必要条件）若函数z=fx,y)在点（化，）可微 则该函数在该点偏导数 020三必存在，且有 Oxay dz= 8x y ay 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+o(p),令△y=0, 得到对x的偏增量 △xz=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) 0z =lim △2=A Ox△x-0△x 0z 同样可证 ay =B,因此有dz= O2 Ly Ox
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z + d = x z 同样可证 B, y z = 证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x = →0 lim = A