3.多元函数的极限 limf(P)=A=Vε>0,38>0，当0<PPo<δ时， P→P6 有f(P)-A<c 4.多元函数的连续性 1)函数f(P)在P连续二 lim f(P)=f(Po) P→P0 2)闭域上的多元连续函数的性质： 有界定理；最值定理；介值定理 3)一切多元初等函数在定义区域内连续 >I
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f P A P P = → lim ( ) 0 ε 0,δ 0,当0 PP0 δ 时， 有 f (P) − A ε 3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P)在P0 连续 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
主讲人：苏本堂 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似， 例1求lim sin(xy) (x,y)→(0,2 )x 解 lim sin(xy) lim sin(x).y (xy)→(0,2)X (xy)>(0,2)xy lim sin(xy) limy=1×2=2, (xy)→(0,2)xy (xy)→(0,2)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似. 解 例 例 5 1 求 x x y x y sin( ) lim ( , )→(0,2) y xy xy x xy x y x y = → → sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) lim 1 2 2 sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) = = = → → y x y x y x y x y y x y x y x x y x y x y = → → sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) lim 1 2 2 sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) = = = → → y xy xy x y x y
注 (1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P时，函数 都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P时，函数趋于不同 的值，则函数的极限不存在 2讨论画数x妙” Xy 在点(0,0)的极限 解：设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)，则有 x2 列-平+k2 x→0 y=kx 1+k2 k值不同极限不同！ 故f(x,y)在(0,0)点极限不存在
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数 都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同 的值, 则函数的极限不存在. 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 2 2 ( , ) x y xy f x y + = 2 2 2 2 0 0 lim ( , ) lim x k x kx f x y x y kx x + = → = → 在点 (0, 0) 的极限. 故 f (x, y) 则有 2 1 k k + = k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 例2. 讨论函数
●二重极限limf(x,y)与累次极限lim limf(x,y) x→x0 x→x0y→y0 y→y0 及lim lim f(x,y)不同. y→y0x→x0 如果它们都存在，则三者相等 仅知其中一个存在，推不出其它二者存在 y2,显然 x 列如，fx,)三2士6 lim lim f(x,y)=0,lim lim f(x,y)=0 x→0y→0 1y→0x→0 但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. • 二重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如, 显然 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 与累次极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→ y→ = 0, 但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在
例3.求lim xy+1-1 x→0 xV y→0 解：原式=lim xy+1)2-1 1 、 lim x0xv(xy+1+1) x0/xy+1+12 y→0 y→0 例4.求函数fx,)=arcsin(3-x2-y) 的连续域 解：3-2-y2s1 Vx-y2 x-y2>0 f2≤r2+2s4 (x>y2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 . 1 1 lim 0 0 xy xy y x + − → → 解: 原式 2 1 = 例3.求 2 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y x y f x y − − − = 3 1 2 2 − x − y 2 4 2 2 x + y 例4. 求函数 的连续域. 解: 0 2 x − y 2 x y 1 1 1 lim 0 0 + + = → → xy y x o 2 y 2 x