§8.5曲面及其方程 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 网
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 §8.5 曲面及其方程 四、二次曲面
主 苏本堂 一、曲面研究的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的 方程； (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时，研究这方程所 表示的曲面的形状
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的 方程; (2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所 表示的曲面的形状. 一、曲面研究的两个基本问题
例1.求动点到定点Mo(xo,yo,z0)距离为R的轨迹 方程 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MoM=R 即 V(x-x)2+(y-0)2+(2-20)2=R 故所求方程为 (x-0)2+(y-0)2+(2-20)2=R2 特别，当M在原点时，球面方程为 Mo x2+y2+22=R2 2=±√R2-x2-y2表示上（下）球面
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R
山东农业大 主讲 方本堂 例设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平 分面的方程 解由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点 的几何轨迹， 设Mx,y,)为所求平面上的任一点，则有 AM-BM, 即 Vx-1)2+y-2)2+2-3)2=Vx-2)2+y+102+(z-4)2 等式两边平方，然后化简得 2x-6y+2z-7=0 这就是所求的平面的方程
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 设有点A(1, 2, 3)和B(2, −1, 4), 求线段AB的垂直平 分面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点 的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|=|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x−6y+2z−7=0. 这就是所求的平面的方程. 解 即 2 2 2 2 2 2 (x−1) +(y−2) +(z−3) = (x−2) +(y+1) +(z−4)
例3方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解通过配方，原方程可以改写成 (x-1)2+0y+2)2+z2=5. 这是一个球面方程，球心在点ML,-2,0)、半径为R=V5 一般地，三元二次方程 Ax2+Ay2+A22+Dx+Ey+Fz+G=0 的图形就是一个球面
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 方程x 2+y 2+z 2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解 通过配方, 原方程可以改写成 (x−1) 2+(y+2) 2+z 2=5. 这是一个球面方程 球心在点 (1, 2, 0) M 0 − 、半径为 R= 5 一般地, 三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0 的图形就是一个球面