A周期函数的Fourier级数5.Fourier级数的指数形式+8aoZ(a, cos no,t + b, sin nopt),推导X已知 fr(t)=(A)2n=1P183根据 Euler 公式 ejnoot = cos noot+ jsin not, (j= /-1)S sin nopt = jeinoo' + je-inoote jinoo + e-jinoot可得cos noot =22代入(A)式并整理得XuSongh+80-jb,an+jbaoanjnootZino,fr(t) :-.222n=1
5. Fourier级数的指数形式 代入(A)式并整理得 根据 Euler 公式 cos sin , 0 0 j 0 e nω t j nω t nω t = + ( j = −1) 可得 , 2 cos 0 0 e e 0 jnω t jnω t nω t − + = 2 sin 0 0 e e 0 jnω t jnω t j j nω t − − + = e ). 2 e 2 ( 2 ( ) 1 0 0 0 + = + − + − = + n n n jnω t n n jnω t T a a jb a jb f t 推导 ( cos sin ), 2 ( ) 0 1 0 0 a nω t b nω t a f t n n T = + n + + = 已知 (A) 一、周期函数的Fourier级数 P183
周期函数的Fourier级数5.Fourier级数的指数形式+8-jb,an+ jb,aoajnootZ.-jnoot推导1fr(t)=M222n=lan-jba,+jbao则有n1CnC222+8jnootZ(B)fr(t)=81n=-8T2e-jndt, n=0,±1,±2,.其中, c,(t)e二定义称(B)式为Fourier级数的指数形式
5. Fourier级数的指数形式 e ). 2 e 2 ( 2 ( ) 1 0 0 0 + = + − + − = + n n n jnω t n n jnω t T a a jb a jb 推导 f t 令 , 则有 2 0 0 a c = , 2 n n n a jb c − = , 2 n n n a jb c + − = 其中, ( )e d , 1 /2 /2 0 − − = T T jnω t n T f t t T c n = 0, 1, 2, ( ) , 0 e + =− = n jnω t T n f t c (B) 定义 称(B)式为Fourier级数的指数形式。 一、周期函数的Fourier级数