第二讲83.3柯西积分公式83.4解析函数的高阶导数
第二讲 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
83.3柯西积分公式(Cauchyintegral formula）
§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula）
分析设D-单连通,f(z)在D内解析zoE D,C是D内围绕z的一条闭曲线,则一般f(z)在2.不解析)dz ± 0Jc z- Zoz-Zo由复合闭路定理得任意包含在内部的DC曲线C CC的内部ZOf(z)f(z)Cdz=dz.JC1JO7. Z01 7. - Zo
0 ( ) . ( ) , , , ( ) , 0 0 0 0 0 一般 在 不解析 是 内围绕 的一条闭曲线 则 设 单连通 在 内解析 − − − C dz z z f z z z z f z z D C D z D f z D − = − 1 0 0 ( ) ( ) C C dz z z f z dz z z f z 曲 线 的内部 任意包含 在内部的 由复合闭路定理得 C Cz 1 0 , 分析 D C z 0 C 1
特别取Ci ={zl z-zo|=8(8 >0可充分小)：f(z)的连续性在C上的函数值f(z)当→0时,f(z)→f(zo)D.猜想积分Z.08→0f(z)f(z)dz=$dz →CiJc z-ZoC1 Z. - Zo1→ f(0) fe -dz = 2πif(zo)这个猜想是对的这就是下面的定理
2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 dz i f z z z f z dz z z f z dz z z f z C C C = − → → − = − → { ( 0 )} C 1 = z z − z 0 = 可充分小 0 , ( ) ( ) ( ) , ( ) 0 f z f z f z C f z 当 → 时 → 的连续性 在 上的函数值 这个猜想是对的,这就是下面的定理. D C z0C1 ∴猜想积分 特别取
柯西积分公式定理3.7设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内是D内任一点，则解析，在D=DUC上连续，z有7dzf(zo)2元其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为柯西积分公式
其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为 柯西积分公式. . 定理3.7 设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内 解析， 是D内任一点，则 有 0 在D = DC上连续，z 柯西积分公式 − = C dz z z f z i f z 0 0 ( ) 2 1 ( )