概率函数Px,)已知时未知参数的矩法估计 设X为连续型随机变量，其概率密度为 p(x8,02,.,09),或X为离散型随机变量， 其分布律为P{X=x}=p(x,0,02,.,0)月 其中0,02，.，0为待估参数 若X,X2,Xn为来自X的样本， 假设总体X的前k阶矩存在 且均为0,0，.，0的函数，即
, , , 其中 为待估参数 其分布律为 或 为离散型随机变量 设 为连续型随机变量 其概率密度为 k k k P X x p x p x X X , , , { } ( ; , , , ), ( ; , , , ), 1 2 1 2 1 2 = = 若X1 ,X2 , ,Xn为来自X 的样本， 假设总体X的前k阶矩存在, , , , , 且均为1 2 k 的函数 即 概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计
4=Bx=xf0x80.02.,0e)dx (X为连续型) 或4=E(X=xp(x;0,02,.,0k), (X为离散型) XERX 其中Rx是x可能取值的范围1=1,2，k 因为样本矩4=，∑X依概率收敛于相应的 i-1 总体矩4(I=1,2,k), 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数
𝜇𝑙 = 𝐸(𝑋 𝑙 ) = න −∞ +∞ 𝑥 𝑙𝑓(𝑥; 𝜃1 , 𝜃2 , ⋯ ,𝜃𝑘 )d𝑥 (X为连续型) 或 𝜇𝑙 = 𝐸(𝑋 𝑙 ) = 𝑥∈𝑅𝑋 𝑥 𝑙 𝑝(𝑥; 𝜃1 , 𝜃2 , ⋯ , 𝜃𝑘 ), (X为离散型) 其中RX 是x可能取值的范围, l = 1,2, ,k ( 1, 2, , ), 1 1 l k X n A l n i l l i = = = 总体矩 因为样本矩 依概率收敛于相应的 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数
=(89) 矩估计法的定义 A=八=14(06.92) =e.9) 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续函 (心.0) 数来估计总体矩的连续函数，这种估计法称为矩 火 估计法. 8=9(从川e 90(从) 矩估计法的具体做法：令4=A,1=1,2,k. 4H(A人，4这是一个包含k个未知参数日，品2，0，的方程组 解出其中日1,02，.，0g: 8=8(4,A.A用方程组的解A,A,0分别作为8,8，0的 8,AA,A估计量，这个估计量称为矩估计量. '8(A,人·矩估计量的观察值称为矩估计值
矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: A , l 1,2, ,k. 令 l = l = , , , , 这是一个包含k个未知参数1 2 k的方程组 , , , . 解出其中1 2 k , . , , , ˆ , , ˆ , ˆ 1 2 1 2 估计量 这个估计量称为矩估计量 用方程组的解 k 分别作为 k 的 矩估计量的观察值称为矩估计值
例2设总体X服从参数为入（未知）的泊松分布， X,X2,Xn是来自总体X的样本试求2的 矩估计量。10少=⊙“，③余x 例3 设总体X服从参数为入（未知）的指数分布， X,X2,Xn是来自总体X的样本，试求入的 矩估计量
例2 设总体 X 服从参数为 F （未知）的泊松分布， , , , , X1 X2 Xn是来自总体X的样本 试求 的 矩估计量。 设总体 X 服从参数为 , , , , X1 X2 Xn是来自总体X的样本 试求 的 矩估计量。 例3 （未知）的指数分布，
第六章参数估计 第10页 例612设总体服从指数分布，由于EX=1/几， 即入=1/EX,故2的矩法估计为 元=1/ 另外，由于VarW=lVX,其反函数为A=1,War西 因此， 从替换原理来看，的矩法估计也可取为 元=1/s s为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知 参数的估计。 4 April 2025 华东师范大学
第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第10页 例6.1.2 设总体服从指数分布，由于EX=1/， 即 =1/ EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/ 2，其反函数为 因此， 从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知 参数的估计。 ˆ =1/ x =1/ Var( ) X 1 ˆ =1/s