第二章随机变量及其分布 第1页 s2.2 随机变量的数学期望 >分赌本问题(17世纪) > 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元， >无平局，谁先赢3局，则获全部赌注 >当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博 >问如何分赌本？ 4 April 2025
第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §2.2 随机变量的数学期望 ➢ 分赌本问题(17世纪) ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?
第二章随机变量及其分布 第2页 两种分法 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注 1.按已赌局数分： 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博 问如何分赌本？ 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2按已赌局数和再赌下去的“期望”分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 4 April 2025
第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?
第二章随机变量及其分布 第3页 2.2.1数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分， 则甲的所得X是一个可能取值为0或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望”所得是：0×1/4+100×3/4=75 4 April 2025
第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75
第二章随机变量及其分布 第4页 222数学期望的定义 定义221 设离散随机变量的分布列为 P(xn)=pm n=1,2,. 若级数工x ,绝对收敛，则称该级数为X的 数学期望，记为E(X)=Σx,P 4 April 2025
第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn ) = pn , n = 1, 2, . 若级数 绝对收敛，则称该级数为X 的 1 i i i x p = 数学期望，记为 1 ( ) i i i E X x p = =
第二章随机变量及其分布 第5页 连续随机变量的数学期望 定义22.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分x)dk绝对收敛，则称该积分为X的 数学期望，记为 E(X)=xp(x)d 4 April 2025
第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 连续随机变量的数学期望 定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 xp x dx ( ) 绝对收敛，则称该积分为X 的 − 数学期望，记为 E X xp x dx ( ) ( ) − =