当函数可微时： lim 2 △z=lim[(A△x+B△y)+o(p)]=0 △x→0 p->0 △y→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 4y->0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微三偏导数存在 (2)偏导数连续二函数可微
(2) 偏导数连续lim( ) ( ) 0 Ax By o 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x 当函数可微时 : 得 z y x 0 0 lim 0 f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即
定理1必要条件)若函数二=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点的偏导数 0202 必存在，且有 Ox'Oy dz= Ax+ 0x y 证：因函数在点(x,y)可微，故△z=A△x+B△y+o(p) 令△y=0,得到对x的偏增量 △z=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) Oz lim △=A 8x △x-→0△x 同样可证 =B,因此有dz= 0y 02 Ly 8x
定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 y y z x x z z d x z 同样可证 B, y z 证:因函数在点(x, y) 可微, 故 令y 0, Ax o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x x x 因此有 x zx x 0 lim A
注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ 2x2+y2≠0 反例：函数f,)= 0 x2+y2=0 易知f(0,0)=f,(0,0)=0,但 A-[/.(0,0)Ax+/,(0,0)A=Ax+(A △x△y △x△y △x△y 42+△)p(△x2+(△ 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微
反例: 函数 f (x, y) 易知 (0, 0) (0, 0) 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y] x y o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y 2 2 ( x) ( y) x y 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 x y x y xy 0, 0 2 2 x y
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 z Ox ay 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,)的全微分为 Ou du= △y+ Ox 0y 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= ou dx Ox oud 8y Ox oudy 必：称为偏微分、上述性质称为叠加原理
定理2 (充分条件) y z x z 若函数 的偏导数 , 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u f (x, y,z) d u 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u 称为偏微分. z z u d 的全微分为 y y u z z u 于是 d , d , d u u u x y z x y z 上述性质称为叠加原理