S2无穷积分的性质与收敛判别 +co In(In.x sinx|dx发散 原积分条件收敛 6举例说明:f(x)dx收敛时」f2(x)dx不一定收敛; (x)dx绝对收效时,∫P(x)d红也不一定收敛 解例如 dx由狄利克雷判别法知收敛 g2xzdx发散 2a 7.证明:若f(x)dx绝对收敛,且limf(x)=0,则 f(x)dx必定收敛 证 f(x)|< f(r)dr= ()dx f(x)d f(x)dx绝对 M 收敛 3支→lmf(x)=0∴取e=1,3M,当x>M时, f(x)dx绝对收敛 又当x∈[M+1,+∞)时,1f(x)|<1 .1f2(x)|<!f(x) 1(x)ldz绝对收敛 f2(x)dx收敛 又产2(x)dx=(x)dx+,f(x)dz ∫(x)dz收敛 8证明:若f是[a,+∞)上的单调函数,且。f(x)d收敛,则 277
第十一章反常积分 期(x)=0,且/()=(1) ,x-+∞ 证不妨设f(x)单调递减,则f(x)≥0,(否则,3x1,使∫(x)< 0,则当x>x1时,(x)≤f(x1)<0,-∫(x)dx发散, f(x)dx发散,矛盾) ∫x)d收敛,由cuy准则,对ve>0,3M,当x>M 时,1f(t)d<e,即」f()dt<e,当x>2M时, ≤x/(x)=2x(x)d≤22(t)atl<2e lim af(x)=0,f(x)=0(),从而linf(x)=0 9证明:若f在[a,+∞)上一致连线,且f(x)dx收敛,则 证∵f(x)在[a,+∞)上一致连续,c>0,3>0,当x lf(x1)-f(2)|<e①又因"f(x)dz收敛 对=1=C,3M>a,当x>M时,有1()h1<ea 考虑积分f(t)d当x<1<x+8时,由①有 ∫(t)-ε<f(x)<(f(x)+c) 从而 f(t)ld-≤f(x)d≤ f(t)dt+√e f(x)dt-(t)dl<e③ 当,x>M时,由②③知,(x=d1f(x)dt
§3瑕积分的性质与收敛判别 x+6 xtd c+& <&( f(x)dr- f(r)dt 1+1 f(r)dt)<26 10.利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 证令F(u)=f(x)dx f(x)dx收敛 lmnf(an)=lmn|f(x)dx极限存在,记为J,取c=1,彐A, 当n>A时,有f(x)dx-J|<1 1f(x)dx<J|+1∴IF(a)<lJ|+1.又在[a,a+ 1]上,F(u)连续,从而有界∴彐M>1J1+1,对一切∈[a,+ ∞),有f(x)d≤M,即|F(u)≤M.∴F(x)在[a,+∞)上 有界 又g(x)在[a,+∞)上单调有界,img(x)极限存在,记为 B,令g1(x)=g(x)-B,则lm(g(x)-B)=0 g1(x)单调趋于0,狄利克雷判别法知,f(x)1(x)dz f(x)(g(x)-B)dx收敛 又。(x)b收∫(x)g(x=()(x) dr+ Bf(x)dx收敛 §3瑕积分的性质与收敛判别 1.写出性质3的证明 1f(x)!dx收敛∴ε>0,3>0,当a1,n∈(a
第十一章反常积分 a+8)时,有11f(x)ldxl<e 1"r(x)dx1≤1f(x)1a|< f(x)dz收敛,且(x)dx≤」1f(x)|dz 2.写出定理11.6及其推论1的证明 证 g(x)dx收敛∴Ve>0,彐8>0,当u1,u2∈(a,a+ 8)时,有!g(x)dx1<e,又|f(x)|≤g(x) f(x)dx≤g(x)dx|<e (f(x))dx收敛 推论1lm:1(x)1=c∴e>0(特别取c=2)38> 0,当a<x<a+合时,1(x)1-c1< 5g(x)<f(x)1<2g(x) 由比较原则,1f(x)|dx与」g(x)dx同敛态 当c=0时,有f(x)|<eg(x).当g(x)dz收敛时, 1f(x)dx收敛当 C=+∞ 时 ag(x)=+∞则对WM> 0,3a>0,当a<x<a+G时,(>M 1(x)1>M()由(x)d发散知。1(x)d发散 3.讨论下列瑕积分的收敛性
§3瑕积分的性质与收做判别 n/ 1-cos dr; (7)sindI (8)eInzdx 解1)1是瑕点 im(x-1)2 1P>1,0<λ<+∞积分发散 2)0是瑕点 Hx212=1mmx=10<P<10<<+ 分收敛 -dr xhx0,=0,0<P<1 1√ xInde发散 原积分发散 4)1为瑕点 0,A=0,0<P<1, 1 Inr-dr收敛 5)1为瑕点 (1-x)14如x=,P=10<<+∞ arctan 01-3dx发散 6)0为瑕点(m>0)