第七章实数的完备性 第七章实数的完备性 81关于实数集完备性的基本定理 1验证:数集{(-1)+1}有且只有两个聚点1=-1和6 证:因为(-12+2:(-11+2k+:∈1(=-1y+1 且m(-12+是=1,m(-11++工=-1,所以1和-1 为{(-1)+}的聚点 反证法:假设x为不同于1和-1的聚点,则取=2minx- 1,1x+11存在N=1/0当n>N时(-1)+落在U(x,) 外部即落在∪(x,)至多只有有限点这于聚点定义相矛盾 2.证明:任何有限集都没有聚点 证明:设S为有限集,x为其聚点,由聚点定义存在互异{xn}cS 且有 lim xn=x,数列{xn}有无限项,这于S为有限集相矛盾 3.设{an,bn}是一严格开区间套,即 a1<a<…<an<…<b<…<b<b1 且limn(bn-an)=0.证明存在唯一一点,有 n2<<bn,n=1,2, 证作闭区间列{[xn,yn]},其中 b, + bni 由于a<x<an+1,bh1<yn<bn,故有
§1关于实数集完备性的基本定理 (1)(an+1,bh+1)C[xn,yn]c(an,bn),从而 II C[,,y] (2)bn+1-an+1<yn-xn<bn-an,从而由lim(bn-an)=0,得 Lim(yn -xn)=0 所以{[xn,yn为闭区间套,由区间套定理,存在一点,使得氏∈ xn,yn],n=1,2,…,由(1)有an<E<bn(n=1,2,…),满足条件an< E<bn(n=1,2,…),点的唯一性与区间套定理同样证得 4.试举例说明:在有理数集内,确界原理,单调有界原理聚点定理 和柯西收敛准则一般都不能成立 解:设an=(1+1)bn=(1+1)1,则{a。}1b}均是有理数列 (1)点集{an1n=1,2,…}非空有界,但在有理数集内无上确界 (2)数列{an}单调递增有上界,但在有理数集无极限 (3)点集{an1n=1,2,…}有界无限,但在有理数集无聚点 (4)数列{an}满足柯西收敛准则,但在有理集内无极限 5设H={(n2,)|n=1,2,…}是一个无限开区间集,间 (1)H能否覆盖(0,1)? (2)能否从H中选出有限个开区间覆盖(0,)? (3)能否从H中选出有限个开区间覆盖(,1)? 解(1)H能覆盖(0,1),因为对任意x∈(0,1),存在n,使 2 <x< (2)不能从H中选出有限个开区间覆盖(,),因对H中任意有 限个开区间,设其中左端点最小出+2,则当0<x<1 时,这 有限个开区间就不能覆盖x 181
第七章实数的完备性 (3)能从H中选出有限个开区间覆盖(1,1).例如选取(1, n),n=1,2,…,99即可 6.证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合[a,b]本身 证设x∈[a,b],若x∈(a,b),取δ=min{x-al,lx-b计 则δ>0,且U(x,8)C[a,b],从而对任给正数e(<8),有U(x,E)C[a b],而U(x,e)中含有[a,b]的无限多个点,故x为[a,b]的聚点若x= a,则对任给正数e(<b-a),有U+(a,e)cU(a,e),且U+(a,e)c[a, b],即U(a,e)内含有[a,b]的无限多个点,故a是[a,b]的聚点,x=b 同理可证 设x为[a,b]聚点,假设x∈[a,b],则x<a,或a>b,若x<a,取 0<E<a-x,则U(x,e)∩[a,b]=,即U(x,e)中不含[a,b]的点, 这与x为[a,b]的聚点相矛盾所以x∈[a,b],x>b同样可证 7.证明:单调数列{xn}若存在聚点,则一定是唯一的,且是{xn}的 确界 证设递增数列{xn}的聚点,设a为任一实数且a≠,不妨设a <(a>同理可证),取e=52a>0,由聚点定义,U(,)中含有 xn}的无限多个项,设x∈U(y,e),由{xn}的递增性,当n≥N时,xn ≥ⅪN,故U(a,e)中最多含有{x2}的有限多个项x1,x2,…,xN-1,所以a 不可能是{xn的聚点由a的任意性为{xn}的唯一聚点 现在证明:= sipix},事实上, (1)为{x2}的上界,反之,若存在x>,则当n>N时,有 xn>5,取E=x->0,则在U(,e)内最多含有|xn}的有限多个项 xn,n=1,2,…,N-1,与聚点相矛盾 (2)=sp{xn},因为对任给正数e,存在xn∈U(,e),从而 xn>y-E,结合(1)便知!=sup{xn}对递减数列类似可证 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理 证设E为直线上有界无穷点集,则存在M>0,使EC[-MM
§2闭区间上连续函数性质的证明 假设[MM]中任何点都不是E的聚点,则对每一个x∈[-MM],必存 在相应的82>0,使得在U(x,2)内至多含有E的有限多个点.设 H={U(x,82)1x∈[-M,M],则H是[-M,M]的一个开覆盖,由有限 覆盖定理H中存在有限个开邻域:U(x,8x)(=1,2,…,n)构成[ M,M]的一开覆盖当然也覆盖了E由邻域U(x,8)的原意,在其内 至多含有有限个点,这于E为无穷点集相矛盾所以[一M,M]中至少 有E的一个聚点 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则 证只需证明充分性,设数列{an}满足条件:对任给正数e,总存 在某一个自然数N,使得当m,n>N时,都有!an-an<e,取E=1 则存在自然数N,当n>N1时,有|an-aN+11<1,从而 I an I<I aN +1 1+1, M=max l I a, l, I a2 l a|+1},则对 切n=1,2,…,有1an≤M,即{an2}有界 下证{an}有收敛子列若E=(an1n=1,2,…)是有限集,则{an} 必有一常子列,若E为无限集.则由聚点定理,E有一聚点A,由聚点定 义可证,存在(a2),使{ma=A,总之,{an}有收敛子列设{ma A,则对任给正数e,存在N当k,m,n>N时,|an-am<2,a A|<.所以当n>N(任取k>N,使n>n)时,有 lan-A|≤|an + A|<+ 故 §2闭区间上连续函数性质的证明 1.设f为R上连续的周期函数证明:f在R上有最大值与小值 证设f的周期为T,由于f在闭区间[0,T]上连续,故有最大值 f(日)和最小值f(),,∈[0,T].任给x∈(-∞,+∞),则存在某整 数k,使得x∈[kT,(k+1)T],于是x-kT∈[0,T],从而有
第七章实数的完备性 f()≤f(x)=f(x-kT)≤f() 所以f(6)=7-(x),f(3)= ntm,x) 2.设I为有限区间证明:若f在Ⅰ上一致连续,则f在I上有界,举 例说明此结论当I为无限区间不一定成立 证:设区间I的左右端点为a,b.由于f在I上一致连续,故对e= 1,存在8>0(8<3),当|x-x"<8(x,x"∈D时,有|f(x) f(x)1<1,对于上述8>0,令a=a+,b=b-,则a<a1<b <b,由于f在[a,b1]上连续,故f在[a1,b1]上有界,设f(x)|≤M1, x∈[a1,b,当x∈[a,)∩I时因0<吗-x<点<6,故1(x) f(a1)<1,从而f(x)≤|f(a1)|+1.同理当x∈(b1,b]∩I时,有 f(x)|≤|f(b)|+1,令 M=max{M1,f(a1)|+1,lf(b1)|+1 则对一切x∈I必有!f(x)≤M 例证y=x2,x∈(-∞,+∞)一致连续,但limx2=+∞无界 3.证明:(x)=5x在(0,+∞)上一致连续 证:{imnx×=0,由柯西收敛准则知,对ve>0,存在M>0 当x,x">M1时,有1f(x)-f(x")1<ε 又∵li 1,同理可知,存在M2>0当0<x,x<M2时, 1f(x")-f(x")|<ε M2 现在把(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M2],[2,M1+2],[M +∞]由于(x)=x在[?2,M1+"2]连续,所以一致连续从而对 上述e>0,必存在8>0(8<2),当x,x"∈MM1+2]且1x