复旦大学：《数学分析》条件极值问题与 Lagrange乘数法

教案 条件极值问题与 Lagrange乘数法 1.教学内容 讲解 Lagrange乘数法的原理,并介绍如何应用 Lagrange乘数法求解条件极值问 题 2.指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题, Lagrange乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具,也是数学分析课程教学上的一个难点,讲好这一节课程, 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义 3.教学安排 1.在考虑函数的极值或最值问题时,经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如,求原点到直线 x+2y+3=6 的距离,就是在限制条件x+y+z=1和x+2y+3z=6的情况下,计算函数 f(x,y,2)=√x2+y2+2的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例,条件极值问题的提法是:求目标函数 f(x,y, z) 在约束条件 G(x,y,=)=0, (x,y,z)=0 下的极值。 假定∫,F,G具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 GGG 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rank J=2 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程 设曲线上一点(x0,y,0)为条件极值点,由于在该点 rank J=2,不妨假设在 (x,y,2)点C≠0,则由隐函数存在定理,在(xn,3,=0)附近由该方程可 以唯一确定 y=y(x),z=(x),x∈O(x0,p)(y=y(x0),-0=x(x0)) 它是这个曲线方程的参数形式 将它们代入目标函数,原问题就转化为函数 Φ(x)=f(x,y(x),(x),x∈O(x0,P) 的无条件极值问题,x0是函数Φ(x)的极值点,因此Φ(x)=0,即 dy (x0,yo,=0)+Jr(x,y1o,=o)x+f(x,yo,=0)x=0 这说明向量

教案 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解 Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问 题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程， 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如，求原点到直线 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 的距离，就是在限制条件 + + zyx = 1 和 + + zyx = 632 的情况下，计算函数 222 ),,( ++= zyxzyxf 的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 zyxf ),,( 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0),,( ,0),,( zyxH zyxG 下的极值。 假定 具有连续偏导数，且 ,, GFf Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = zyx zyx HHH GGG J 在满足约束条件的点处是满秩的，即 J = 2rank 。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。 设曲线上一点 为条件极值点，由于在该点 ),,( 000 zyx J = 2rank ，不妨假设在 zyx 000 ),,( 点 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ zy HG ，则由隐函数存在定理，在 附近由该方程可 以唯一确定 ),,( 000 zyx ,(),(),( ) = = ∈ xOxxzzxyy 0 ρ （ )(),( 0 00 0 = = xzzxyy ）。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),()),(),(,()( =Φ ∈ xOxxzxyxfx 0 ρ 的无条件极值问题， 是函数 0 x Φ x)( 的极值点，因此 0)( Φ′ x0 = ，即 0),,(),,(),,( 000 + 000 + 000 = dx dz zyxf dx dy zyxfzyxf x y z 。 这说明向量 1

grad f(x0,y2=0)=f2(x0,yV0=0)i+/,(x0,y0-0)j+f(x,y0,=0)k 与向量r=几女 dx dx 正交,即与曲线在(x02y0,0)点的切向量正交,因此 grad f(x0,y0,=0)可看作是曲线在(x0,y0,-0)点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1,这个法平面是由 gradS(x0,y0,=0)与 grad(x0,y0,0)张成的,因此 grad f(x0,yo,=0)可以由 gradS(x0,y0,=0)和 grad H(x0,y,=0)线性表出,或者说, 存在常数A0,{0,使得 gradf(xo, yo, =0)=no grad G(xo, yo, =0)+Ho grad H(xo, yo, =) 这就是点(x0,y0,0)为条件极值点的必要条件。 将这个方程按分量写开就是 f2(x0,yo,0)-40G2(x0,yo,=0)-{0H2(x0,yo,-0)=0, f(x0,yo,=0)-G,(x0,y0,=0)-H,(x,y0,-0)=0 f2(x,y,0)-20G2(x0,y0,=0)-40H2(x0,y0,=0)=0. 于是,如果我们构造 Lagrange函数 L(,y, =)=f(,, =)-iG(,y, 3)-uH(x,y,=) (A,称为 Lagrange乘数),则条件极值点就在方程组 f -2Gr-uh f,-1G,-H,=0 f2-6G2-HH2=0 G=0. 的所有解(x0y0,-0,10,4)所对应的点(x0,y20)中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法,称为 Lagrange乘数法 2.作为一个例子,现在用 Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题,即 求函数 F(x,,=) 在约束条件 y+z=1 x+2y+3=6 下的最小值(最小值的平方根就是距离)。为此,作 Lagrange函数 L(x,y,,,)=x2+y2+22-A(x+y+2-1)-(x+2y+3z-6), 在方程组 Ly=2y--2A=0 34=0, y+z-1=0, 2y+3z-6=0 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以x、y、z后相加,再利用第四、第五 式得到

000 = x 000 i + y 000 j + z zyxfzyxfzyxfzyxf 000 ),,(),,(),,(),,(grad k 与向量 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dz dx dy τ ,,1 正交，即与曲线在 点的切向量正交，因此 可看作是曲线在 点处的法平面上的向量。由定理 12.5.1，这个法平面是由 与 张成的，因此 可以由 和 线性表出，或者说， 存在常数 ),,( 000 zyx zyxf 000 ),,(grad ),,( 000 zyx zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad zyxf 000 ),,(grad zyxG 000 ),,(grad zyxH 000 ),,(grad 00 λ ,μ ，使得 zyxf 000 ),,(grad =λ0 zyxG 000 ),,(grad + μ 0 zyxH 000 ),,(grad ， 这就是点 为条件极值点的必要条件。 ),,( 000 zyx 将这个方程按分量写开就是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − = .0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( ,0),,(),,(),,( 00000000000 00000000000 00000000000 zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf zyxHzyxGzyxf z z z y y y x x x λ μ λ μ λ μ 于是，如果我们构造 Lagrange 函数 = − λ − μ zyxHzyxGzyxfzyxL ),,(),,(),,(),,( （λ, μ 称为 Lagrange 乘数），则条件极值点就在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = =−−= =−−= =−−= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 H G HGfL HGfL HGfL zzz z yy y y xxx x μλ μλ μλ 的所有解 ),,,,( λ μ 00000 zyx 所对应的点 中。用这种方法来求可能的条件 极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法。 ),,( 000 zyx 2．作为一个例子，现在用 Lagrange 乘数法来解决本节开始提出的问题，即 求函数 222 ),,( ++= zyxzyxF 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作 Lagrange 函数 ),,,,( ( )632()1 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−−++−++= ， 在方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =−++ =−−= =−−= =−−= .0632 ,01 ,032 ,022 2 ,0 zyx zyx zL yL xL z y x μλ μλ μλ 把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以 x 、、 zy 后相加，再利用第四、第五 式得到 2

1+6 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出λ和,如果只有一组解,则+5就是原点到直线距 离的平方! 为此我们只要从方程组解出λ和μ即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加,再利用第四式得 3+6=2; 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加,再利用第五式得 6+144=12 从以上两个方程解得 =4 于是原点到直线 ∫x+y+z=1 5 x+2y+32=6 的距离为1(-+2 注解出4和后,容易得到本题的唯一可能条件极值点为x 3 x+y+二=1, 因此原点到直线 的距离为,F 517 x+2y+3z=6 333 3.一般地,考虑目标函数∫(x1,x2,…,x)在m个约束条件 81(x1,x2, 0( 下的极值,这里∫,g,(=1,2,…,m)具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 agm ag 8a8a:ga 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rankJ=m。那么我们有下述类似的结论 定理1(条件极值的必要条件)若点x=(x,x2…,x)为函数∫(x)满足约束 条件的条件极值点,则必存在m个常数λ1,λ2…,n,使得在x0点成立 gradf=d, grad g, +1, grad g, +.+Am grad g 于是可以将 Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange函数 Lx )=f( λ 那么条件极值点就在方程组 ol af λL=0 ax, a 的所有解(x12x12…,xn,1,A2…,An)所对应的点(x1,x2…,xn)中

(2 6) μλ 222 zyx +=++ 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出λ 和 μ ，如果只有一组解，则 2 λ + 6μ 就是原点到直线距 离的平方！ 为此我们只要从方程组解出λ 和μ 即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263 ； 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= 。 于是原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 5 )24 3 22 ( 2 1 =+− 。 注 解出λ 和μ 后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= ， 因此原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5 。 3．一般地，考虑目标函数 21 L xxxf n ),,,( 在 m 个约束条件 );,,2,1(0),,,(i 21 L n = = L < nmmixxxg 下的极值，这里 i = L migf ),,2,1(, 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J L MMM L L 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似的结论： 定理 1（条件极值的必要条件）若点 为函数 满足约束 条件的条件极值点，则必存在 个常数 x0 ),,,( 00 2 0 1 n = L xxx f x)( m λ λ λ m ,,, 21 L ，使得在 点成立 x0 g g m g m grad f = λ1 grad + λ21 grad 2 +L+ λ grad 。 于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 L L λλλ L λ L ),,,(),,,(),,,,,,,( ， 那么条件极值点就在方程组 （*） ),,2,1;,,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = L = L ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),,,,,,,( 21 n 21 m L xxx λ λ L λ 所对应的点 21 L xxx n ),,,( 中。 3

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件,我们不加证明地给 出,请有兴趣的读者将证明补上 定理2设点x=(x,x2,…,x0)及m个常数λ1,A2…,满足方程组(*),则 当方阵 (x0,A1,A2…,元n) 为正定(负定)矩阵时,x为满足约束条件的条件极小(大)值点,因此∫(x) 为满足约束条件的条件极小(大)值 注意,当这个定理中的方阵为不定时,并不能说明∫(x0)不是极值。例如, 在求函数f(x,y,2)=x2+y2-2在约束条件z=0下的极值时,构造 Lagrange函 数L(x,y,)=x2+y 在,并解方程组 Lx=2x=0, L,=2y=0 L.=-2=-2=0, =0 得x=y=z=4=0。而在(0,0,0,0)点,方阵 00 020 是不定的。但在约束条件z=0下,f(x,y)=x2+y2≥f(0,0,0)=0,即f(0,0,0) 是条件极小值。 4.例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题,这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性(如前面的例子)。这样的话,只要把用 Lagrange乘数法所解得的 点的函数值加以比较,最大的(最小的)就是所考虑问题的最大值(最小值) 例1要制造一个容积为a立方米的无盖长方形水箱,问这个水箱的长、宽 高为多少米时,用料最省? 解设水箱的长为x、宽为y、高为z(单位:米),那么问题就变成在水箱 容积 的约束条件下,求水箱的表面积 S(x,y,2) 的最小值。 作 Lagrange函数 L(x, y, 2, 1)=xy+2x2+2yz-i(xyz-a) 从方程组 Lx=y+2=-yz=0, L,=x+22-4x=0. L=2x+2y-xy=0, =0

判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给 出，请有兴趣的读者将证明补上。 定理 2 设点 x0 = 1 0 2 0 L xxx n 0 ),,,( 及m 个常数λ λ λ m ,,, 21 L 满足方程组（*），则 当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),,,( 210 2 x L λλλ 为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束条件的条件极小（大）值。 x0 )(x0 f 注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明 不是极值。例如， 在求函数 在约束条件 )(x0 f 222 ),,( −+= zyxzyxf z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函 数 −−+= λzzyxzyxL ，并解方程组 222 ),,( ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 zyx λ ==== 0 。而在 点，方阵 )0,0,0,0( ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 下， ，即 是条件极小值。 z = 0 ),,( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= f )0,0,0( 4．例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解得的 点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。 例 1 要制造一个容积为 立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、 高为多少米时，用料最省？ a 解 设水箱的长为 x、宽为 、高为 （单位：米），那么问题就变成在水箱 容积 y z xyz = a 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),,( yzxzxyzyxS 的最小值。 作 Lagrange 函数 λ = + + − λ − axyzyzxzxyzyxL )(22),,,( ， 从方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =−+= =−+= =−+= 0 22 ,0 ,02 ,02 axyz xyyxL xzzxL yzzyL z y x λ λ λ 4

得到唯一解 由于问题的最小值必定存在,因此它就是最小值点。也就是说,当水箱的底为边 长是v2a米的正方形,高为v2a/2米时,用料最省。 例2求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4x2=1相交而成的椭圆的面积 图127.1 解椭圆的面积为mb,其中a,b分别为椭圆的两个半轴,因为椭圆的中心在 原点,所以a,、b分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 于是,可以将问题表述为,求 f(x,y, ==x+y 在约束条件 x+y+2= 下的最大值与最小值。 作 Lagrange函数 L(x,y,,A,A)=x2+y2+z2-l(x+y+)-(x2+y2+4x2-1), 得到相应的方程组 L2=2(1-)x-2=0 L,=2(1-p)y-2=0, L=2(1-4)2-1=0 x+v+2=0 将方程组中的第一式乘以x,第二式乘以y,第三式乘以z后相加,再利用 x+y+z=0和x2+y2+4x2=1得到 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出,如果只有二个解1和山2,则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方! 所以问题转化为求的值。 将以上方程组中的第一式乘以1-4,第二式乘以1-4,第三式乘以1-后 相加,得到

得到唯一解 2 2 ,2,2 3 3 3 a = = zayax = 。 由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边 长是3 2a 米的正方形，高为 22 3 a 米时，用料最省。 例 2 求平面 zyx =++ 0与椭球面 zyx 222 =++ 14 相交而成的椭圆的面积。 解 椭圆的面积为πab ，其中 分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在 原点，所以 分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。 ,ba ,ba z O y x 图 12.7.1 于是，可以将问题表述为，求 222 ),,( ++= zyxzyxf 在约束条件 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 14 ,0 222 zyx zyx 下的最大值与最小值。 作 Lagrange 函数 ),,,,( )14()( 222 222 μλ λ μ zyxzyxzyxzyxL −++−++−++= ， 得到相应的方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =−−= =−−= =−−= .014 ,0 ,0)41(2 ,0)1(2 ,0)1(2 222 zyx zyx L z L y L x z y x λμ λμ λμ 将方程组中的第一式乘以 x ，第二式乘以 ，第三式乘以 后相加，再利用 和 得到 y z zyx =++ 0 14 222 zyx =++ =++= μ 222 ),,( zyxzyxf 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出μ ，如果只有二个解 μ1和μ 2，则它们就是该椭圆的半长 轴与半短轴的平方！ 所以问题转化为求μ 的值。 将以上方程组中的第一式乘以 − 41 μ ，第二式乘以 − 41 μ ，第三式乘以1− μ 后 相加，得到 5