精品课程《数学分析》课外训练方案 第二十一章重积分 基本概念 、二重积分的定义 设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J式一个确定的常数,若对任意的正数E,总 存在某个正数,使对于D的任何划分T,当它的细度<时,属于T的所有积分和都有 f(1,n)△a1-J< 则称f(x,y)在区域D上可积,数J称为f(x,y)在D上的二重积分,记作J=f(x,y)d 注:(1)有界闭区域D上的连续函数必可积:(2)设∫(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数。若 f∫(x,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则∫(x,y)在区域D上可积。 2、直角坐标系下二重积分的计算 定理1:设函数f(x,y)在矩形区域D=[ab1×cd上可积,且对每一个x∈[ab],积分f(x,y) 存在,则累次积分广d(x)也存在,且(xy)=d(xyh 定理2:设函数f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d上可积,且对每一个y∈[e,d],积分f(x,y)d 存在,则累次积分∫d(x)也存在,且/(x)M=∫(xy) 3、格林公式:若函数P(x,y),Qx,y)在闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,则有 2-,=5+b 这里L为区域D的边界曲线,并取正方向 等价定理:设D式单连通区域。若函数P(x,y),Q(x,y)在D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以 下四个条件等价: (1)沿D内任一光滑封闭曲线L,有中Pax+Qhy=0 (2)沿D内任一按段光滑曲线L,曲线积分[Px+Qd与路线无关,只与L的起点和终点有关
精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第二十一章 重积分 一、基本概念 1、二重积分的定义 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数。 J 式一个确定的常数，若对任意的正数ε ，总 存在某个正数δ ，使对于 D 的任何划分T ，当它的细度 T < δ 时，属于T 的所有积分和都有 ∑ ξ η ∆σ − < ε = f J n i i i i 1 ( , ) 则称 f (x, y) 在区域 D 上可积，数 J 称为 f (x, y) 在 D 上的二重积分，记作 。 ∫∫ = D J f (x, y)dσ 注：（1）有界闭区域 上的连续函数必可积；（2）设 是定义在有界闭区域 上的有界函数。若 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 在区域 上可积。 D f (x, y) D f (x, y) f (x, y) D 2、直角坐标系下二重积分的计算 定理 1：设函数 f (x, y) 在矩形区域 D = [a,b]×[c, d]上可积，且对每一个 x ∈[a,b] ，积分 存在，则累次积分 也存在，且 ＝ 。 ∫ d c f (x, y)dy ∫ ∫ d c b a dx f (x, y)dy ∫∫ f (x, y)dσ D ∫ ∫ d c b a dx f (x, y)dy 定理 2：设函数 f (x, y) 在矩形区域 D = [a,b]×[c, d]上可积，且对每一个 y ∈[c, d ]，积分 存在，则累次积分 也存在，且 ＝ 。 ∫ b a f (x, y)dx ∫ ∫ b a d c dy f (x, y)dx ∫∫ f (x, y)dσ D ∫ ∫ b a d c dy f (x, y)dx 3、格林公式：若函数 P(x, y) ，Q(x, y) 在闭区域 D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有 ∫∫ ∫ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ L D d Pdx Qdy y P x Q σ 这里 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向。 等价定理：设 式单连通区域。若函数 ， 在 内连续，且有连续的一阶偏导数，则以 下四个条件等价： D P(x, y) Q(x, y) D （1）沿 D 内任一光滑封闭曲线 L ，有 + = 0 ∫L Pdx Qdy ； （2）沿 D 内任一按段光滑曲线 L ，曲线积分 ∫ + 与路线无关，只与 L Pdx Qdy L 的起点和终点有关；
精品课程《数学分析》课外训练方案 (3)Pax+Qdy是D内某一函数u(x,y)的全微分,即在D内d=Pdhx+Qdy; (4)在D内处处成立=22。 4、三重积分定义 设A=[a,b]xc,d]×e,门是R中的(闭)长方体,f∫是定义在A上的有界函数。 (1)分割:用平面 x=x1:i=0,1,…,na=x<x1<…<xn=b y:j=0,1,…,mC=y0<y 二=k:k=0,1…,1e=-0<1<…<2=f 将A分成mXn×l个子长方体,记此分法为P={x,x,…,xm,y,…,ym:二0,…,},并记 4=1xx1Dy1×=:,=4的对角线长度xx)+(y-y)+(=-=- d= maxduk Ax=x-xAy =y,-yi-, A-k==k-Ek-I (2)求和:在每一个4内任意取一点(51,,5),作 Riemann和 ∑∑f(5,n,)xAyA=S i=j=1k=1 (3)取极限:如果limS存在,并且此极限与分划P无关,又与点(5,7,9k)在Ak内的取法无关,则称f在A上 Riemann可积(简称可积),并记这一极限为川f(x,y,) ddda,or‖f,称之为∫在A上的三重积分。 5、三重积分的变量替换 设在三重积分f(x,y,)d作变量替换: x(u,,@ y=y(u,v,O)(a,v,o)∈D =(l,v,O) 又设这一代换是正侧的,那满足下列条件: (1)建立了DD'之间的一一对应 (2)x,y,z在D'内有关于,vO的连续偏导数,并且其通变换:u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),O=o(x,y,=) 在D内有关于x,y,z的连续偏导数;
精品课程《数学分析》课外训练方案 2 （3） Pdx + Qdy 是 D 内某一函数u(x, y) 的全微分，即在 D 内 du = Pdx + Qdy ； （4）在 D 内处处成立 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 4、三重积分定义 设 A = × [ , a b] [c, d]×[e, f ]是 3 R 中的（闭）长方体， f 是定义在 A 上的有界函数。 （1）分割：用平面 0 1 0 1 0 1 : 0,1, , : 0,1, , : 0,1, , { i n j m k l x x i n a x x x b y y j m c y y y d z z k l e z z z f = = = < < < = = = = < < < = = = = < < < = L L L L L L 将 A 分 成 m n × ×l 个子长方体，记此分法为 P x = { 0 1 , , x L L , xm m ; y0 , y1, , y ;z0 ,z1,L,zl} ] ，并记 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , Aijk i i j j k k x x y y z z = × − − × − ， ijk ijk d = A 的对角线长度= 2 2 1 1 ( ) ( ) ( i i j j k k x x y y z z − + − − − + − 2 1) − 1 1 1 1 max ijk i m j n k l d d ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = 1 1 , , i i i j j j k k k x x x y y y z z z ∆ = − − − ∆ = − ∆ = − − （2）求和：在每一个 Aijk 内任意取一点( , , ) i j k ξ η ζ ,作 Riemann 和: 1 1 1 ( , , ) m n l i j k i j k i j k f ξ η ζ x y z S = = = ∑∑∑ ∆ ∆ ∆ = （3）取极限：如果 存在,并且此极限与分划 P 无关,又与点( , 0 lim d S → , ) i j k ξ η ζ 在 Aijk 内的取法无关,则称 f 在 A 上 Riemann 可积(简称可积),并记这一极限为 ( , , ) A f x y z dxdydz ∫∫∫ ,or A f ∫∫∫ ，称之为 f 在 A 上的三重积分。 5、三重积分的变量替换 设在三重积分 ( , , ) D f x y z dxdydz ∫∫∫ 作变量替换： ( , , ) ( , , ) ( , , ) { x x u v y y u v z z u v ω ω ω = = = ( , u v,ω) ∈ D ' 又设这一代换是正侧的，那满足下列条件： （1）建立了 D ↔ D' 之间的一一对应； （2）x, y,z 在 D'内有关于u v, ,ω 的连续偏导数，并且其通变换：u = u( , x y,z), v = = v(x, y,z),ω ω( , x y,z) 在 D 内有关于 x y, ,z 的连续偏导数；
精品课程《数学分析》课外训练方案 xx x a(x,y,2) (3) Jacobin行列式Ja.”)yy在D内无零点,则 f(, y, =)dxdyd=ll f((u,v,o),y(u,v, @)=(u,v, o))Jdudvda 即把xyz坐标系下的三重积分化为u坐标系下的三重积分。和二重积分类似,当J点在D'内个别点上为零 时,上述公式仍成立。 特别地有: 1)球坐标系代换:x= psin cosb,y= DSin o sin0,z=pcos, J|=p2sinq(0≤p<+0,0≤0≤x,0≤0≤2) f(x,y,=)dxdyd==ll f(psin o cos 0, psin o sin 0, p cos p)psin pdedpdp 其中,0≤0≤2x,0≤0≤丌,0≤p<+∞。适用于积分公式或被积函数是f(x2+y2+2)型 2)柱坐标代换:x= rose,y= rsin e,z=z,(r≥0,0≤0≤2x,-<z<+∞),J=r= a(x,y,=),适 a(r,O,-) 用于∫(x2+y2)型被积函数或积分区域 三重积分的柱坐标换元公式为:「f(x,y,=)d=ff( rose,rsin,) rder。用柱坐标计算三重 积分,通常是找出D在r平面上的投影区域σa,那当D'={(xr,)|=1()≤=≤=2(r,)(r,6)∈On}时, f(x,y, =)dxdyd== drde.. f(re, re, =d- 先对二积分,再计算σa上的三重积分,其中二重积分能用极坐标来计算(极坐标系下的二重积分)。 、基本方法 1、用格林公式计算重积分 2、用球坐标变换、柱坐标变换等处理三重积分。 基本要求 1、掌握重积分的概念 2、会计算各种重积分,包括二重积分和三重积分 3、熟练运用格林公式和三种变换 四、典型例题
精品课程《数学分析》课外训练方案 3 （3）Jacobin 行列式 ( , , ) ( , , ) u v u v u v x x x x y z J y y y u v z z z ω ω ω ω ∂ = = ∂ 在 D'内无零点，则 ( , , ) D f x y z dxdydz ∫∫∫ = ' ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) D f x u v ω y u v ω ω z u v J dudvd ∫∫∫ ω 即把 xyz 坐标系下的三重积分化为 坐标系下的三重积分。和二重积分类似，当 J 点在 内个别点上为零 时，上述公式仍成立。 uvw D' 特别地有： 1）球坐标系代换： x y = = ρ sinϕ θ cos , ρ sinϕ sinθ ,z = ρ cosϕ ， 2 | | J = ≤ ρ sinϕ ρ (0 < +∞,0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π ) ( , , ) D f x y z dxdydz ∫∫∫ = 2 ' ( sin cos , sin sin , cos ) sin D f ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕd d θ ϕd ∫∫∫ ρ 其中，0 2 ≤ ≤ θ π ϕ ,0 ≤ ≤ π ,0 ≤ ρ < +∞ 。适用于积分公式或被积函数是 2 2 2 f ( ) x y + + z 型。 2）柱坐标代换：x = = r y cosθ , rsinθ ,z = z ，( 0 r z ≥ ≤ ,0 θ ≤ 2π ,−∞ < < +∞) ， ( , , ) ( , , ) x y z J r r z θ ∂ = = ∂ ，适 用于 2 2 f (x + y ) 型被积函数或积分区域。 三重积分的柱坐标换元公式为： ( , , ) D f x y z dxdydz ∫∫∫ = ' ( cos , sin , ) D f r r θ θ z rdθdr ∫∫∫ dz 。用柱坐标计算三重 积分，通常是找出 D'在 rθ 平面上的投影区域σ rθ ，那当 D x ' = ≤ {( ,r,θ)| z1 2 (r,θ θ ) z ≤ z (r, ),(r, ) θ ∈σ rθ} 时， ( , , ) D f x y z dxdydz ∫∫∫ = 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) r z r z r drd f r r z dz θ θ θ σ θ θ θ ∫∫ ∫ 先对 z 积分，再计算σ rθ 上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。 二、基本方法 1、用格林公式计算重积分； 2、用球坐标变换、柱坐标变换等处理三重积分。 三、基本要求 1、掌握重积分的概念； 2、会计算各种重积分，包括二重积分和三重积分； 3、熟练运用格林公式和三种变换。 四、典型例题
精品课程《数学分析》课外训练方案 例1改变,f(x,y)h的积分顺序 解原式=[d(xy)+小(x,。 例2应用格林公式计算星形线:x=acos31,y=asin3t所围成平面图形的面积。 解利用图形的对称性可知,S=4引功-3n2 2sm2u=°a2r 例3用极坐标计算积分(x2+y2)ddy,其中D:x2+y2≤R2。 x=rose 解令 y=/SmnO,将D变换成极坐标平面下区域D={()0≤≤2x0≤r≤R,则 Jr(r2+)dxdy=r(2)rdrde= de"( 2)dr=V(R2)-f(o 例4求由z=x2+y2和二=x+y所围立体的体积V。 解本题的关键在于找出立体在xOy平面上的投影区域D,D={xy)2+y2≤x+y,令 +rcos e 2 ,则D′=(,0)0≤6≤20≤r≤ 所以 y=-+rsin 0 =/+y)-(x2+y)ady dO2/1 五、自测题 1.设Ω是可度量的平面图形或空间立体,∫,g在Ω上连续,证明: (1)若在9上f(P)≥0,且f(P)不恒等于0,则f(P)dg2>0 (2)若在Ω的任何部分区域Ωc9上,有 f(P)ds=Lg(P)ds 则在Ω上有f(P)≡g(P)
精品课程《数学分析》课外训练方案 4 例 1 改变 ∫ ∫ 的积分顺序。 x x dx f x y dy 2 2 0 ( , ) 解 原式 ∫ ∫ ∫ ∫ = + 2 2 4 2 2 2 0 ( , ) ( , ) y y dy y f x y dx dy f x y dx 。 例 2 应用格林公式计算星形线： x = a cos 3 t ， y a t 所围成平面图形的面积。 3 = sin 解 利用图形的对称性可知， π π 2 2 0 2 2 3 8 sin 2 2 3 2 1 4 tdt a a S xdy ydx L = ⋅ − = = ∫ ∫ 。 例 3 用极坐标计算积分 f x y dxdy ，其中 。 D ( ) / 2 2 + ∫∫ 2 2 2 D :x + y ≤ R 解 令 ，将 变换成极坐标平面下区域 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y r x r D D = {(r, ) 0 ≤ ≤ 2 ,0 ≤ r ≤ R} / θ θ π ，则 f x y dxdy D ( ) / 2 2 + ∫∫ ＝ ( ) ( ) [ ( ) (0)] 2 0 / 2 2 0 / 2 / f r rdrd d rf r dr f R f R D = = − ∫∫ ∫ ∫ θ θ π π 。 例 4 求由 和 2 2 z = x + y z = x + y 所围立体的体积V 。 解 本题的关键在于找出立体在 xOy 平面上的投影区域 D ， D = { x y x + y ≤ x + y} 2 2 ( , ) ，令 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + θ θ sin 2 1 cos 2 1 y r x r ，则 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤ ≤ ≤ ≤ 2 2 ( , ) 0 2 ,0 / D r θ θ π r ，所以 [ ] r rdrdθ V x y x y dxdy D D ∫∫ ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = + − + / 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 8 1 2 2 0 2 2 0 π θ π ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ∫ d r rdr 五、自测题 1．设Ω 是可度量的平面图形或空间立体， f , g 在Ω 上连续，证明： (1) 若在Ω 上 f P( ) ≥0，且 f P( ) 不恒等于 0，则 f P( )d 0 Ω Ω > ∫ ； (2) 若在Ω 的任何部分区域 上，有 ' Ω ⊂ Ω ' ' f ( ) P d g( ) P d Ω Ω ∫ Ω = Ω ∫ ， 则在Ω 上有 f P( ) ≡ g(P) ．
精品课程《数学分析》课外训练方案 2.设∫(x)在ab可积,g(y)在cd可积,则∫(x)g(y)在矩形区域D=ab]×cd]上可积,且 f(x)g()dxdy= f(x)dx g()dy 计算下列二重积分: ()(y-2xth,D=[35×[2 (2)Icos(x+y)drdy, D=0, 3 x[0, 7] (3)、x如d,D=[ab1×/[cd1 (4)JiA.drdy, D=[0, ]x[o, 3.将二重积分f(x,y)xdy化为不同顺序的累次积分 (1)D由x轴与x2+y2=r(y>0)所围成 (2)D由y=x,x=2及y=-(x>0)所围成 (3)D由y=x3,y=2x3,y=1和y=2围成 4.改变下列累次积分的次序: (1) dyl, f(x, y)dx )∫a/(xy) (3)|ax。f(x,y)dy+,dr 6.设f(xy)在所积分的区域D上连续,证明广“(x,yb=(xy 7.计算下列二重积分: (1)「x"yddb(m,k>0)D是由y2=2px(p>0)x=2围成的区域: (2)dD是由y=0,y=smx,x=0和x=√z围成的区域 √ addy,D:x2+y2≤x (4)∫(x+y)d,D由y=c,y=1x=0,x=1所围成 ) [x2ydxdy,D由x=y2,x=0.x=2,y=2+x所围成
精品课程《数学分析》课外训练方案 5 2．设 f x( ) 在[a,b]可积， g y( ) 在[c,d]可积，则 f x( )g( y) 在矩形区域 D ＝[a,b]×[c,d]上可积，且 ( ) ( ) ( ) ( ) b d a c D f x g y dxdy = f x dx g y dy ∫∫ ∫ ∫ ． 计算下列二重积分： (1) ( 2 ) ， D y x − dxd ∫∫ y D = × [3,5] [1,2] ； (2) cos( ) D x + y dxdy ∫∫ ， 0, [ ] 0, 2 D π π ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ； (3) 2 2 x y D xye dxdy + ∫∫ ， D = × [a b, , ] [c d]； (4) 1 D x dxdy + xy ∫∫ ， D = × [0,1] [0,1] ． 3．将二重积分 ( , ) D f x y dxdy ∫∫ 化为不同顺序的累次积分： (1) D 由 x 轴与 所围成； 2 2 2 x y + = r ( y > 0) (2) D 由 y x = , 2 x = 及 1 y (x 0) x = > 所围成； (3) D 由 和 3 3 y x = = , 2 y x , y =1 y = 2 围成； 4． 改变下列累次积分的次序： (1) 2 ； 2 3 0 ( , ) y y dy f x y dx ∫ ∫ (2) 2 2 1 ( , ) x dx f x y dy ∫ ∫ ； (3) 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − + ∫ ∫ ∫ ∫ ． 6．设 f x( , y) 在所积分的区域 D 上连续，证明 ( , ) ( , ) ． b x b b a a a y dx f x y dy = dy f x y dx ∫ ∫ ∫ ∫ 7．计算下列二重积分： (1) m k D x y dxdy ∫∫ ( m k, 0 > ), D 是由 2 2 ( 0), 2 p y p = x p > x = 围成的区域； (2) , D ∫∫ xdxdy D 是由 和 2 y y = = 0, sin x , x = 0 x = π 围成的区域； (3) , D ∫∫ xdxdy D ： 2 2 x + y ≤ x ； (4) ( ) , D ∫∫ x + y dxdy D 由 , 1, 0, 所围成； x y e = = y x = x =1 (5) 2 2 , D ∫∫ x y dxdy D 由 2 x = = y x, 0, x = 2, y = 2 + x 所围成