§1连续性概念 第四章函数的连续性 S1连续性概念 1.按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1(2)r(x)=|x1 证:(1)f(x)=1的定义域为D=(-∞,0)U(0,+∞) 当 ∈D时,有 11 二x 由三角不等式可得:x1≥!x01-1x-x01,故 当1x-x01<x01时,有 11 对任给正数e,取=1+E1xoi>0,则8<1xo1 当x∈D 1<8时,有 1f(x)-f(xo)|= 0 可见∫(x)在x0连续 由x0的任意性知:f(x)在其定义域内连续 (2)f(x)=1x1的定义域为(-∞,+∞),对任何 x0∈(-∞,+∞),由于,1x1-1x0≤|x-xo 从而对任给正数e,取8=e,当1x-x01<8时,有 f(x)-f(x0)|=| 故∫(x)在x连续,由x0的任意性知,f(x)在(-∞,+∞)连续
第四章函数的连续性 2.指出下列函数的间断点并说明其类型 (1)f(x)=x+1(2)f(x)= (3)f(x)=[|csx1](4)f(x)=sgn|x (5)f(z)=sgn(oosr)(6)f(z) x,x为有理数 -x,x为无理数 x+7 ∞<x< (7)f(x)=1x (x-1)nx1,1<x<+o 解(1)f(x)在x=0间断由于imn(+1)不存在,故x=0 是∫(x)的第二类间断点 (2)f(x)在x=0间断由于imf(x)=imx=1 r0 imnf(x)=lm班=-1,故x=0是f(x)的跳跃间断点 (3)f(x)在x=nr间断,(n=0,±1,±2,…)由于 lim f(r)=lim [I cosz 1]=0, lim f(r)=lim [I oos. 1]=0 故x=nr是f(x)的可去间断点(n=0,±1,±2,…) (4)f(x)在x=0间断由于limf(x)= lim sgn|xl=-1, imf(x)= lim sgn|xl=1,故x=0是f(x)的可去间断点 (5)f(x)在x=2kx±2(k=0,±1,±2,…)间断由于 lim f(x)=1, lim f(x)=1 吧,f(x)=1,.f(x)=-1 故x=2kx±2(k=0,士1,±2,)是f(x)的跳跃间断点
§1连续性概念 (6)f(x)在x≠0的点间断且若x0≠0,则limf(x)不存在 故x≠0是∫(x)的第二类间断点 (7)f(x)在x=-7,x=1间断且imf(x)=-7,limf(x) 不存在,故x=-7是f(x)的第二类间断点又因 lim f(x)=lim(x-1) 0, lim f(z)=1 故x=0是f(x)的跳跃间断点 3.延拓下列函数,使其在R上连续 (1)f(x)= (2)f(x) COST (3)f(z)=Icos x 解(1)当x=2时,f(x)没有定义而 im(x21+2x+4)=12于是函数 z-8,x≠2 F(r) 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 12,x=2 (2)当x=0时,(x)没有定义,而lm(x)=lm1gx= 于是函数 sx,x≠0 F(x)= 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 (3)当x=0时,f(x)没有定义,而lmf(x) 0于 是函数 F(x) 是f(x)的延拓,且在(-∞,+∞)上连续 ≠ 0 4.证明:若f在x0连续,则1f1与产2也在点x0连续又问:若 1f1或严在I上连续,那么∫在I上是否必连续
第四章函数的连续性 证:(1)若f在x0连续,则1f|与严也在x0连续 (1)1∫|在x0连续事实上,由于∫(x)在x0连续,从而对任给 正数e,存在正数8当|x-x01<8时,有|f(x)-f(x0)<e,而 !f(x)|-|f(xo)l≤1f(x)-f(xo)|故当|x-x01<b时 f(x)|-1f(xo)l<e,因此lf(x)|在xo连续 ()严在x连续事实上,由于f(x)在xo连续,从而由局部有 界性知:存在M>0及81>0使当|x-x01<81时,有 f(x)<2①,由连续的定义知:对任给正数e,存在正数82 当|x-x0<a2时,有1f(x)-f(x)<M②现 6=min{1,2},则当1x-x01<δ时,①与②同时成立,因此 1f2(x)-f(xo)l=lf(x)-f(xo)|·lf(x)+f(x0) <I f(r)-f(co)I(I f(x)1+l f(ro)1)<e 故产2在x0连续 (2)逆命题不成立,例如设f(x)= 1,x为有理数 1,x为无理数 则f1,严均为常函数故是连续函数但f(x)在(-∞,+∞)中 的任一点都不连续 5设当x≠0时f(x)≡g(x),而f(0)≠g(0)证明:f与g两 者中至多一个在x=0连续 证:(反证)假设f(x)与g(x)均在x=0连续,则 imf(x)=f(0),ling(x)=g(0)又因x≠0时,f(x)≡g(x) 于是limf(x)=limg(x)从而f(0)=g(0),这与f(0)≠g(0)相矛 盾故∫与g至多有一个在x=0处连续 6设f为区间I上的单调函数证明:若x0∈I为f的间断点,则 x0必是f的第一类间断点 证不妨设∫为区间Ⅰ上的递增函数于是当x∈I且x<x0时, f(x)<∫(x0).从而由函数极限的单调有界定理可知:f(x0-0)存
1连续性概念 在且f(x0-0)=limf(x)≤f(xo) 同理可证f(x0+0)存在且f(x0+0)=limf(x)≥f(xo) 因此,x0是∫(x)的第一类间断点 7.设函数∫只有可去间断点,定义g(x)=lm(y)证明g为连 续函数 证设∫的定义域为区间I,则g(x)在I上处处有定义(因∫只 有可去间断点,从而极限处处存在)任取x0∈I,下证g(x)在x0连 续由于g(x0)=limf(y)且g(x)=limf(y)(x∈I),从而对任给正 数e,存在正数8,当0<1y-x01<8时,有 :(zo)-2<f(y)<g(zo)+2 任取x∈U"(x0,8),则必存在U(x,)CU"(xo6)于是当 y∈U(x,n)时,(1)成立.由极限的不等式性质知 g(x0)-号≤g(x)=lm(y)≤g(x0)+5 因此当x∈U(x0,8)时,有1g(x)-g(x0)1<e故g(x)在x0处 连续 8.设f为R上的单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明g在R上 每一点都右连续 证由于∫为(-∞,+∞)上单调函数,故∫只有第一类间断点 故右极限处处存在于是g(x)处处有定义,任取x0∈(-∞,+∞) 下证g在x0右连续.由于g(x0)=f(xo+0)=limf(y) 且g(x)=limf(y)(-∞<x<∞),从而对任给正数ε, 存在正数8,当0<x-x0<δ时,有 g(x0)-2<f(y)<E(x)+2(1) 任取x∈U°(x0,8),则必存在U+(x,y)CU+(x0,δ).于是