§1函数极限概念 第三章函数极限 S1函数极限概念 1.按定义证明下列极限 (1)lm =6(2)lim(x2-6x+10)=2 1(4)lim√4 (5)limosa cosIo 证(1)当x>0时,x-61=于是对任给正数e,只要 取M=5,当x>M时,有15x5-6<,l5+5=6 (2)当0<1x-2|<1时,有|(x2-6x+10)-21 1x-4|≤1x-2(|x-2|+2)<3|x-2 对任给正数e,只要取δ=min{1,},则当0<x-2|<8时 有1(x2-6x+10)-21<c,故lim(x2-6x+10)=2 (3)当x>2时,1-2-1=x-1x+1<对任给 正数e,只要取M=mx2,4,当x>M时,便有 1|<ε,故 (4)由|√4-x21=√(2+x)(2-x)x∈[-2,2] 2√丨x-21<c得|x-2|<
第三章函数极限 对任意ε>03 只要|x-2|<就有 √4 1<ε所以lim√4 0 (5)因为|ax-agxo1=2 I sin,anx1≤|x-z01 从而对任给正数e,只要取8=e,当0<|x-x01<δ时就有 2.根据定义2叙述limf(x)≠A 解设函数f在x0的某空心领域U(x0,8)内有定义,A是一个 确定的常数,若存在某个正数e,使得对任意的正数δ,总存在x’,满足 8,且1f(x)-A|≥E,则称当 时,f(x)不 以A为极限,记为limf(x)≠ 设limf(x)=A,证明limf(xo+h)=A 证:limf(x)=A 则对任给正数e,存在正数8,当0<!x-x01<8时,有 f(x)-A|< 从而当0<h1<δ时有0<(xo+h)-xol<δ,于是 f(xo+h)-A|<ε,故imf(xo+h)=A 反之,设imf(x0+h)=A,则任给正数E,存在正数8, 当0<|h1<δ时,有f(x0+h)-A|<E 当0< 1<8时,h 满足0<h|<δ,从而 I f(a)Al=I f( )-A|<e,故limf(x)=A 4.证明:若imf(x)=A,则 lim I f(x)|=|A,其逆命题成立 吗?当且仅当A为何值时反之也成立? 证:由limf(x)=A,则对任给正数e,存在正数8, 当0<1 1<δ时有:1f(x)-A|<
§1函数极限概念 因此,当0<x-x01<δ时,1f(x)|-1A1≤1f(x)-A1<e 故 f(x)|=|A 1,x>0 但逆命题不真如对f(x)=10,x=0,,有1f(x)1=1x≠0 1,x<0 imgf(x)|=1,但lnf(x)不存在事实上 lim f(r)=-1 lim f(x) 可见imf(x)≠limf(x),故limf(x)不存在 当且仅当,A=0时,反之成立 5.证明定理 定理3.1linf(x)=A的充分必要条件是 lim f(r)=limf(z)=A 证:必要性limf(x)=A则对任给正数e,存在正数δ,当 0<|x-x0|<δ时,有lf(x)-A|<e.因此,当0<x-x<δ时 f(x)-AK<e,故lmf(x)=A,当-δ<x-x0<0时,有 f(x)-A<e,故limf(x)=A 充分性limf(x)=limf(x)=A,则对任给正数e,分别存在 正数81和2,使的当0<x-x0<81或0<x0-x<2时,都有 I f(r)-Al<e (1) 现取δ=min{81,2},当0<1x-x0<b时,有 0<x-x0≤1x-x0l<δ≤ 或0<x0-x≤|x-x01<δ≤62 因而由(1)知|f(x)-A|<c,故limf(x)=A 6.讨论下列函数在x→0时的极限或左、右极限
第三章函数极限 (1)f(x)= (2)f(x)=[x] x>0 (3)f(x)=10 x<0 解(1)当x>0时,(x)=⊥z=1故lmf(x)=1 当x<0时,f(x) 1故limf(x)=-1 因此limf(x)不存在 (2)当1>x>0时,f(x)=[x]=0故imf(x)=0 x0+ 当-1<x<0时,f(x)=[x]=-1故imf(x)=-1 因此limf(x)不存在 (3)当x>0时f(x)=2故limf(x)=lim2x=1 ix<0时,f(x)=1+x2故imnf(x) (1+x2)=1 因此limf(x)=1 7.设limf(x)=A,证明lmf(1)=A 证明:设lmf(x)=A,lmf()=B,下证A=B,对任给正数 e,存在M>0,d>0,使x>M时有1f(x)-A|<2(1) 当0<x<8时就有1f(1)-B1<号 (2) 令7=mt6,,则当0<x<7时,1>M, 从而由(1)知|f()-A|< (3) 于是当0<x<η时,由(2)和(3)知 1A-BI≤|A-f()1+1f()-B|<e
§2函数极限的性质 可见|A-BI≤e,由于E的任意性可知 im f()=A= lim f(z) 8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)=0,x0∈[0,1] (当x0=0或1时,考虑单侧极限) 证:[0,1]上的黎曼函数定义如下 当x=上时(p,q∈N+,P为既约真分数) R 0当x=0,1或(0,1)内的无理数 任取x0∈[0,1],对任意给定的正数e,满足不等式n≤的自然数n 至多有有限个,于是在[0,1]中至多有有限个既约分数上,使得R(B 1≥e,因而我们可取δ>0,使得x0的空心邻域U(x0,8)内不含 这样的既约分数,于是只要0<x-xo1<δ(对xo=0,只要 0<x<δ,对x0=1,只要0<1-x<8),不论x是否为无理数, 有|R(x)1<,故imR(x)=0,x0∈[0,1] s2函数极限的性质 1.求下列极限 (1)lim 2(sinz-cosx-x2)(2)lim 2-2- (3)li 1(4如m(x-1)+(1-3x) 2+2x3 91(,m为正整数)()(223 () lim va2+x-a(a>0)(8)lmn(3x+6)(8x-5)20 (5x-1) 解()i2(sinx-sx-x2)=2(1-4)