第二十一章重积分 第二十二章曲面积分 §1第一型曲面积分 1.计算下列第一型曲面积分: (1)(x+y+z)d,其中S为上半球面 z2=a2z≥0; (2)(x2+y3)d,其中S为主体/x2+y2≤z≤1的边界曲面 ds,其中S为柱面x2+y2=R2被平面z h所截取的部分; (4)‖ roads,其中S为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分 解(1)因z=√a-x-y2,2=,:3= /1+ 从而 十y (nax+2a√a2-x2) (2)面积S由两部分S1,S2组成其中S1:z=√x2+y2,S2:z=1
§1第一型曲面积分 x2+y2≤1它们在axy面上的投影区域都是x2+y2≤1, 由极坐标变换可得 s0s22 (x2+y2)ds+(x2+y2)ds drdr 27RH 2rh 31 6x(1-x)3=3 4.计算2dS,其中S为圆锥表面的一部分 S: y= rinsing D 0≤g≤2x 这里0为常数(0<0<2) 解由于 E=x,+y?+2=sin20(cosp+ sin2)+c0s20 F=xx+yyg+x,p甲 rsinpoospsin8+ rsinooospsin8+0=0 G in+r2cos sin20+0=r'sin20 由P3s的公式(11)可得
第二十一章重积分 2ad=2∞0√P2smb-0dmlp =‖r3 ssinbcos2ardq =2xsn0o3·4a4="22in0 S2第二型曲面积分 1.计算下列第二型曲面积分 (1)y(x-z)dydz+x2ddx+(y2+x)dndy,其中S为x= y=z=0,x=y=z=a平面所围的正方体并取外侧为正向; )(x+y)dydz+(y+z)dadx+(z+x)dy,其中S是以 原点为中心,边长为2的正方体表面并取外侧正向; (3) rydz+ yzdzdr+ caddy,其中S是由平面x=y 0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向; (4)‖xddx,其中S是球面x2+y2+x2=1的上半部分并取外 侧为正向 (5)2ax+y2ax+x2zb,其中S是球面(x-a)2+ b)2+(z-c)2=R2并取外侧为正向 解()因y(x-z)dyz=」dyny(a-z)l .y-=2)+e2=号
§2第二型曲面积分 r2dzdr= dz[z2dr-dzx2dx=0 4(3+a)b-dy 所以原积分 (2)由对称性知只须计算其中之一即可 由于‖(x+y)dk=d,(1+y)dz-」dy,(-1+y)dz (-1+y)dy=8 故原积分=3×8=24 (3)由对称性知 原式=3x(1 dx(x-x2-xy =3x(1-x2-2(1-x)]d (4)作球坐标变换 A I=ossIn, y sinSing, 2=cosp a sin using 故dxdx=[dp.sn20sn2ggb、不 (5)由轮换对称只计算‖2adby 由z-c=±√R2-(x-a)2-(y-b)2,利用极坐标变换可得: b=工+=()0b)地
第二十一章重积分 (c -VR2(x-a)2-(y-b)2drdy rRsc 故原式 2.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面 x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量 解设流量为E,则 E=‖ kdydz+ oddo=K(+‖)ddz+ yazd 球曲球后 0+ (其中yddr利用球坐标变换计算) 3.计算第二型曲面积分 I=f(x)dxdz+g(y)dzdx+ h(z)drdy 其中S是平行六面体(0≤x≤a,0≤y≤b,0≤z≤c)表面并 取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数 解设平行六面体在yz,z,xy平面上的投影区域分别为D ax,Dx,则有 I=2‖[f(a)-f(0)]ayz+‖[h(c)-h(0)]ddy D =[f(a)-f(0)]bc+[g(b)-g(0)]a+[h(c)-h(0)]ab 4.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量 解设磁通量为Φ,则 φ= xyz+ yazd+ addy 由轮换对称性,并利用球坐标变换,有