81隐函数 第十八章隐函数定理及其应用 s1隐函数 1.方程∞x+siny=e能否在原点的某邻域内确定隐函数 y=f(x)或x=g(y)? 解令F(x,y)=cx+siny-e列,则有 (I)F(x,y)在原点的某邻域内连续; (Ⅱ)F(0,0)=0; (Ⅲ)Fx=-sinx-ye,F=sy-xP均在上述邻域内连续; (Ⅳ)F(0,0)=1≠0,F(0,0)=0 故由隐函数存在唯一性定理知,方程csx+siny=E在原点的某 邻域内可确定隐函数y=f(x) 2.方程xy+zlny+e=1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出 某一个变量为另外两个变量的函数? 解令F( (I)F(x,y,z)在点(0,1,1)的某邻域内连续; (Ⅱ)F(0,1,1)=0 (Ⅲ)Fx=y+xen,F=x+,F2=hy+x均在上述邻域 内连续; (Ⅳ)F2(0,1,1)=2≠0,F=(0,1,1)=1≠0,F2(0,1,1)=0 故由定理183知,在点(0,1,1)的某邻域内原方程能确定出函数 f(y,z)和 3.求由下列方程所确定的隐函数的导数 (1)z2y+3x“y3-4=0,求分;
第十八章隐函数定理及其应用 (2)hn√x2+ arctan (3) 2 0,求 (4)a+ ,(a>0)求 (5)x2+y2+z2-2x+2y-4z-5=0.求za3 ),求 az ax dy z 解(1)方程两边对x求导,则 2xy +x2 dr + 12x2y3+9zy dx=o 所以x2 (2)方程两边对x求导数,则 2x+2 dy 2 y 1 所以出y Tt (I ≠y) (3)设F(x,y,z)=e可-2z+e,则 Fx=-y可,Fy Fx=-2 F 所以 F2e2-2 (4)令F(x,y) e"+ 将=1(a+a2-y)代人上式,即:F,=2-a-ya2,2
81隐函数 F dzFy√a2 de y dx ldx vas-y2dr (5)令F(x,y,z)=x2+y2+x2-2x+2y-4z-5,则 F,=2x-2 y az 厅小xF (6)把z看成x,y的函数,两边对x求偏导数,则有 B2=f(1+32)+f1(x+y2) 所以 f1 yzf ax 1-f1- xyf2 把x看成y,z的函数,两边对y求偏导数,则 0=f1 所以 +rafa 把y看成z,x的函数,对z求偏导数,则 1=f1(x+1)+n2(xy+x 所以az fi-a 4.设z=x2+y2,其中y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1所 确定的隐函数求及 解由方程x2-xy+y2=1,得=2x=ny
第十八章隐函数定理及其应用 因=2x+2y出=2(x2-y2) 故=/4 2(2x-242/(x-2y)-2(x2-y2)1-2 do =4x-2y+5x2(2x-y 5设u=x2+y2+z2,其中z=f(x,y)由方程x3+y3+z3= 3xyz所确定的隐函数,求vx及umx 解由x3+y3+z3=3xz所确定的隐函数x=f(x,y)得 故 n4=2x+24=2(x+2-x2) =2|1+ (zrx2+2zt -2yzz )(xy-z2) y 6.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z=c(y+2),求z对于x,y的一阶与二阶偏导数 (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求3x 解(1)令F(x,y,z)=x+y+z-e-(x+y+),则 F=1 F= F 故
81隐函数 (2)把z看成x,y的函数,两边对x求偏导数,得 F1+F2+F3{1 0,故 F1+ F2+ F F 原方程两边关于y求偏导数,得F2+F(1+2y)=0 故 3(3x F+F12+F21+F2+F3+F3+(F13+F23+F3)×1+ (F++FF+F2+F(1+) =-F3[F3(F11+2F12+F2) 2(F1+F2)F3(F13+F23)+(F1+F2)2F3 7证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶 导数,则当F≠0时,有 F Fy F F Fr 0 证由题设条件可得y=-2(F,≠0) #x y"=-[(F2+ Fny)Fy-F2(Fy+ Fny)IFy (2F-FFr-FYFr-F2Fy)Fy (Fy*0) 所以Fy=2FFFx-F3Fax-F2F F2FyF,(F,≠0) F 471