第一章实数集与函数 §1实数 1.设a为有理数,x为无理数,证明 (1)a+x是无理数 (2)当a≠0时,ax是无理数 证:(1)假设a+x是有理数,则(a+x)-a=x是有理数 这与题设x是无理数相矛盾,故a+x是无理数 (2)假设ax是有理数,则=x为有理数,这与题设x是无理数 相矛盾,故ax是无理数 2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)x-1|<|x-3l (3)√x-1-√2x-1≥√3x-2 解(1)由原不等式有 x<0 或 1<0 前一个不等式组的解是x>1后一个不等 式组的解是-1<x<0 故(1)的解如图1-1 X (2)由原不等式有|x-1 图1-1 1<1,于是有 1×f-3-1,所以-1<1+-2 x-3<1, 解此不等式,得x<2,故(2)的解如图 图12 (3)由题设知√3x-2≥0,x-1-√2x-1≥0
第一章实数集与函数 从而不等式两端平方,有 x-1+2x-1-2√(x-1)(2x-1)≥3x-2, 因之有2√(x-1)(2x-1)≤0,所以√(x-1)(7x-1)=0 由此解得x=1或x=,但x=1或 均不符合原不等式 所以原不等式无解 3.设a,b∈R,证明:若对任何正数e有1a-b|<ε,则a=b 证:用反证法,倘若结论不成立,则a>b(或a<b同理可证) 令E=a-b,则e为正数且a=b+e这与假设 矛盾,从而a=b 4.设x≠0,证明1x+1|≥2,并说明其中等号何时成立 证:因x与同号,从而 x+11=\z|+ 当且仅当1x1=1,即x=±1时等号成立 5.证明:对任何x∈R有 (1)1x-11 (2)|x-11+|x-21+1x-31≥2 证:(1)因为1-1x-1|≤|1-x+11=1x-21 所以1x-11+1x-21≥1 (2)因为2-1x-3|≤1x-1|≤{x-1|+1x-2 所以,1x-11+1x-21+1x-31≥2 6.设a,b,c∈R+(R+表示全体正实数的集合) 证明:1√a2+b2-√a2+c2l≤b-c 你能说明此不等式的几何意义吗? 证:对任意的正实数a,b,c,有2a2b≤a2(b2+c2) 两端同时加a4+b2c2,有 a4+b2c2+2a2bc<a262+a2c2+a4+6222
§1实数 即(a2+x)2≤(a2+b2)(a2+2),所以a2+≤√(a2+b2)(a2+ 2a2-2√(a2+b2)(a2+c2)≤-2bc,两端再同加b2+c2,则有 +b2-√a2+c2|≤|b-c1 其几何意义为:当b≠c时,以(a,b),(a,c),(0,0)三点为顶点的 三角形,其两边之差小于第三边 当b=c时,此三角形变为以(a,c),(0,0)为端点的线段,此时等 号成立 7设x>0,b>0,a≠b,证明介于1与之间 解因为1-4+x=ba,g+x-=(b-a 且x>0,b>0,所以当a>b时,1<a+x∠b 当a<b时,B<B<1故王总介于1与B之间 8.设P为正整数,证明:若P不是完全平方数,则、P是无理数 证:假设P为有理数,则存在正整数m,n使P=m,且m与 互素,从而它们的最大公约数为1,由辗转相除法知:存在整数u,v,使 m+n=1,从而m2a+mn=m,于是n可整除m,这样n=1 因此P=m2,这与P不是完全平方数相矛盾,故√P为无理数 9.设a,b为给定实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下 列不等式的解 (1)x-a<1x-b;(2)1x-ak<x-b;(3)x2-a<b 解(1)原不等式等价于a二-1<1,因此有0<a二b<2 由此不等式有 >6 <b 0<a-b<2x-2b0>a-b>2x-2b
第一章实数集与函数 <b 故当a>b时,不等式的解为x>ab 当a<b时,不等式的解为x< 当a=b时,不等式无解 (2)原不等式等价于/x>b 且 a>6 x>b<x 于是/x> 故当a>b时,x>+b;当a≤b时无解 (3)由原不等式有a-b<x2<a+b,所以 当a≥b时,√a-b<|xk<√a+b即 a-b<x<√a+b或-√a-b>x>-√a+b 当a<b时,|xl<√a+b,即-√a+b<x<√a+b 其余情况均无解 S2数集与确界原理 1.用区间表示下列不等式的解 (2)|x+11≤6 (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为常数,且a<b<c) (4)sinx≥ 解()由原不等式有{2<1 或/x≥1 1-2x≥0-x-1-x≥0
2数集与确界原理 前一个不等式组的解为x≤,后一个不等式组无解,所以原不 等式的解为x∈(-∞,1] (2)由1x+1|≤6有 当x>0时-6x≤x2+1≤6x,它的解为x∈[3-22,3+22]; 当x<0时,6x≤x2+1≤-6x,它的解为x∈[-3-22,-3+22], 所以原不等式的解为x∈[-3-22,-3+22]U[3-22,3+22] (3)当x≤a或b≤x≤c时,由a<b<c知x-aXx-bx-c)≤0 所以x≤a与b≤x≤c都不是原不等式的解 当a<x<b时或x>c时,由a<b<c知(x-a)(x-b)(x-c)>0, 所以a<x<b与x>c都是原不等式的解 原不等式的解是:x∈(a,b)U(c,+∞) (4)当z∈(4,]时≥2由正弦函数的周期性知≥ 的解是x∈[2k+王2x+x共中k为整数 2.设S为非空数集.试对下列概念给出定义 (1)S无上界; (2)S无界 解(1)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x0∈S, 使x0>M,则称数集S没有上界 (2)设S是一非空数集,若对任意的M>0,总存在x0∈S,使 xo1>M,则称数集S无界 3.试证由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 证:S={ 2-x2,x∈R} 对任意的x∈R,y=2-x2≤2,所以数集S有上界2而对任意的 M>0,取x1=√3+M,则y1=2-x=2-3-M=-1-M∈S, 但y1<-M,因之数集S无下界 4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证: